GÜMNAASIUMPlanimeetria

Kolmnurgad ja nelinurgad

Planimeetriaülesandes jagatakse kujund tavaliselt täisnurkseteks kolmnurkadeks ning kasutatakse Pythagorase teoreemi, trigonomeetriat, sarnasust ja pindalavalemeid.

Kolmnurk
Sise- ja ümberringjoon
Rööpkülik
Romb
Trapets
Sarnased kolmnurgad

Tähised

SS
kujundi pindala
aa
kolmnurga või rööpküliku külg; trapetsi alus
hh
kõrgus: kolmnurgas ja rööpkülikus küljele aa tõmmatud, trapetsis aluste vaheline kaugus
rr
kolmnurga siseringjoone raadius
pp
kolmnurga poolümbermõõt
RR
kolmnurga ümberringjoone raadius
bb, cc
kolmnurga teised küljed; rööpkülikus on bb teine külg, trapetsis teine alus
α\alpha
rööpküliku külgede aa ja bb vaheline nurk
d1d_1, d2d_2
rombi diagonaalid
nn
hulknurga nurkade (tippude) arv
a1a_1, b1b_1, c1c_1
esimese kolmnurga küljed
a2a_2, b2b_2, c2c_2
teise kolmnurga vastavad küljed (võrdsete nurkade vastas)
kk
sarnasustegur (vastavate külgede suhe)
S1S_1, S2S_2
sarnaste kujundite pindalad

Kolmnurga pindala

S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}

Võrdkülgne kolmnurk

h=a32,S=a234h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Sise- ja ümberringjoone raadius

r=Sp,R=abc4Sr = \frac{S}{p}, \qquad R = \frac{abc}{4S}

Rööpkülik

S=a⋅h=absin⁡αS = a \cdot h = ab\sin\alpha

Romb

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Rombi diagonaalid on risti ja poolitavad teineteist.

Trapets

S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2} \cdot h

Kesklõigu pikkus on a+b2\frac{a + b}{2}.

Hulknurga sisenurkade summa

(n−2)⋅180∘(n - 2) \cdot 180^\circ

Sarnased kolmnurgad

a1a2=b1b2=c1c2=k\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

Kolmnurgad on sarnased, kui kaks nurka on võrdsed, kaks külge on võrdelised ja nendevaheline nurk võrdne või kõik kolm külge on võrdelised. Ümbermõõtude suhe on samuti kk.

Sarnaste kujundite pindalade suhe

S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2

Harjutuspank

Harjuta seda teemat

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Alusta harjutamist

Arvuta ise

Kirjuta, mis on antud, ja vali, mida otsid. Iga samm on näha.

Rööpkülik

Mis on antud?

  • cm
  • cm
  • cm
  • °
  • cm²
  • cm

Otsin: pindala SS

Kirjuta üles, mis on antud. Tulemus ja lahenduskäik tekivad siia.

Levinud vead

Selle teema ülesanded

  1. Ülesanne 2: Kitsas riigieksam 2015: Kahe sirge ja koordinaattelgedega piiratud trapetsLineaar- ja ruutfunktsioonKolmnurgad ja nelinurgad5 pTegemata
  2. Ülesanne 7: Kitsas riigieksam 2015: Juhani võrdhaarne kolmnurk ja kõrgusTäisnurkse kolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  3. Ülesanne 9: Kitsas riigieksam 2015: Kolmnurk koordinaattasandil ja paralleelne sirgeSirge võrrandKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  4. Ülesanne 8: Kitsas riigieksam 2017: Paralleelsed sirged ja rööpkülikSirge võrrandVektoridKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  5. Ülesanne 9: Kitsas riigieksam 2019: Rööpkülik koordinaattasandilVektoridKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  6. Ülesanne 1: Kitsas riigieksam 2020: Võrdhaarse kolmnurga suurim nurk ja pindalaKolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad5 pTegemata
  7. Ülesanne 10: Kitsas riigieksam 2020: Täisnurkne trapets koordinaattasandilVektoridKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  8. Ülesanne 7: Kitsas riigieksam 2021: Täisnurkne kolmnurk ja nurgapoolitajaTäisnurkse kolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  9. Ülesanne 7: Kitsas riigieksam 2023: Võrdhaarse trapetsi diagonaal ja pindalaKolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  10. Ülesanne 10: Kitsas riigieksam 2024: Vektor, ristuvad sirged ja kolmnurga pindalaVektoridSirge võrrandKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  11. Ülesanne 10: Kitsas riigieksam 2025: Rööpkülik koordinaattasandilVektoridKolmnurgad ja nelinurgadSirge võrrand10 pTegemata
  12. Ülesanne 12: Kitsas riigieksam 2025: Maatükk kolmnurgast trapetsiksKolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  13. Ülesanne 10: Kitsas riigieksam 2026: Uus teelõik AMKolmnurga lahendamineProtsentarvutusKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  14. Ülesanne 2: Lai riigieksam 2015: Sirgete ja telgedega piiratud kujundLineaar- ja ruutfunktsioonKolmnurgad ja nelinurgad5 pTegemata
  15. Ülesanne 5: Lai riigieksam 2015: Liuvälja mõõtmedRuutvõrratusedLineaarvõrratused ja võrratusesüsteemidKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  16. Ülesanne 7: Lai riigieksam 2016: Kolmnurkse maatüki külg, pindala ja mediaanKolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  17. Ülesanne 12: Lai riigieksam 2016: Rombikujulise põhjaga püramiidi külgserva nurkPüramiidSirged ja tasandid ruumisKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  18. Ülesanne 8: Lai riigieksam 2017: Romb diagonaali ja vektori abilSirge võrrandVektoridKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  19. Ülesanne 8: Lai riigieksam 2018: Täisnurkne kolmnurk koordinaattasandilSirge võrrandKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  20. Ülesanne 7: Lai riigieksam 2019: Ristküliku pindala juurvõrrandigaJuurvõrrandidKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  21. Ülesanne 9: Lai riigieksam 2019: Nõgusa nelinurga külg ja pindalaKolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  22. Ülesanne 11: Lai riigieksam 2019: Rööpkülik ja sellest lõigatud ringVektoridKolmnurgad ja nelinurgadRing ja ringjoon10 pTegemata
  23. Ülesanne 7: Lai riigieksam 2020: Kolmnurga pindala ja lõik BDKolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata
  24. Ülesanne 2: Lai riigieksam 2021: Kolmnurk ja ruut võrdse pindalagaTäisnurkse kolmnurga lahendamineKolmnurgad ja nelinurgad5 pTegemata
  25. Ülesanne 4: Lai riigieksam 2026: Ristküliku pindala võrratusRuutvõrratusedKolmnurgad ja nelinurgad5 pTegemata
  26. Ülesanne 10: Lai riigieksam 2026: Romb koordinaattasandilSirge võrrandKolmnurgad ja nelinurgad10 pTegemata