Lai riigieksam 2021, ülesanne 2: Kolmnurk ja ruut võrdse pindalaga
Teravnurkse kolmnurga ABC kaks külge on AB=6 dm ja AC=5 dm. Kolmnurga ABC pindala on võrdne sellise ruudu pindalaga, mille küljeks on kolmnurga tipust C joonestatud kõrgus CD.Arvutage nurk BAC.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 2
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kirjuta kolmnurga pindala külje AB ja kõrguse CD kaudu ning võrdsusta see ruudu pindalaga. Nii saad kõrguse CD.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Kirjuta kolmnurga pindala
Teeme joonise. Kõrgus CD on tõmmatud küljele AB. Kuna kolmnurk on teravnurkne, asub kõrguse aluspunkt D küljel AB.
Kirjutame kolmnurga pindala külje ja sellele tõmmatud kõrguse kaudu.
SABC=2AB⋅CD
Asendame AB=6 dm.
SABC=26⋅CD=3⋅CD
6 dm5 dmαABCD
Kõrgust CD me veel ei tea, seega jätame selle tähena. Külg AC=5 dm läheb vaja alles nurga leidmisel.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Kirjuta ruudu pindala
Ruudu külg on CD ja ruudu pindala on külje ruut.
Sruut=CD2
S=CD26 dm5 dmαABCD
Ruudu pindala on külje ruut.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia kõrgus CD
Ülesande järgi on kolmnurga ja ruudu pindalad võrdsed.
Võrdsustame pindalad.
3⋅CD=CD2
Viime kõik liikmed ühele poole ja toome CD sulgude ette.
CD⋅(CD−3)=0
Kõrgus ei saa olla null, seega peab teine tegur olema null.
CD−3=0⇒CD=3 dm
S=CD26 dm5 dm3 dmαABCD
Võrrandit ei tohi lihtsalt jagada avaldisega CD, kui pole öeldud, et see ei ole null. Siin on see lubatud, sest kolmnurga kõrgus on alati positiivne. Huvitav on, et kõrgus tuleb pool külje AB pikkusest.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia nurk BAC
Kolmnurk ADC on täisnurkne (nurk D on täisnurk). Selles on teada hüpotenuus AC=5 dm ja nurga A vastaskaatet CD=3 dm.
Kirjutame nurga siinuse vastaskaateti ja hüpotenuusi kaudu.
sin∠BAC=ACCD
Asendame CD=3 dm ja AC=5 dm.
sin∠BAC=53=0,6
Leiame taskuarvutiga nurga, mille siinus on 0,6.
∠BAC=arcsin0,6≈36,87∘≈36,9∘
S=CD26 dm5 dm3 dm36,9∘ABCD
Kolmnurk on teravnurkne, seega nurk A on teravnurk ja sobib ainult 36,9∘ (mitte 180∘−36,9∘). Kontrolliks: cosA=0,8, koosinusteoreemist BC2=36+25−2⋅6⋅5⋅0,8=13 ja pikima külje vastas olev nurk on teravnurk, sest 62=36<52+13=38. Sama tulemuse annab ka teine tee: S=21⋅6⋅5⋅sinA ja CD=5sinA, siis 15sinA=25sin2A ehk sinA=53.