Kitsas riigieksam 2023, ülesanne 7: Võrdhaarse trapetsi diagonaal ja pindala
Võrdhaarse trapetsi lühem alus on 4 cm, haar on 8 cm ja trapetsi nürinurk on 130°.
1.Tehke tekstile vastav joonis ja kandke andmed joonisele.
2.Arvutage trapetsi diagonaali pikkus ning diagonaali ja aluse vahelise nurga suurus.
3.Arvutage trapetsi pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2023, ülesanne 7
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 27,7% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Diagonaal AC jagab trapetsi kolmnurkadeks; kolmnurgas ACD on teada kaks külge ja nendevaheline nurk. Pindala jaoks tõmba lühema aluse otspunktist kõrgus pikemale alusele.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tee joonis
Esimeses küsimuses tuleb teha joonis. Tähistame trapetsi ABCD nii, et AB on pikem alus ja DC lühem alus. Võrdhaarses trapetsis on haarad võrdsed ja nurgad sama aluse juures võrdsed. Nürinurgad on lühema aluse juures.
Kanname joonisele antud andmed.
DC=4 cm,AD=BC=8 cm,∠ADC=∠BCD=130∘
Trapetsi haara juures olevate nurkade summa on 180∘, seega on pikema aluse juures teravnurgad.
∠DAB=∠CBA=180∘−130∘=50∘
4 cm8 cm8 cm130∘130∘ABCD
Alused AB ja DC on paralleelsed, seega on nurgad ADC ja DAB lõikaja AD juures sisemised lähisnurgad ja nende summa on 180∘.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia diagonaal koosinusteoreemiga
Teises küsimuses tuleb leida diagonaal AC. Kolmnurgas ACD on teada kaks külge AD=8 cm ja DC=4 cm ning nendevaheline nurk 130∘, seega saame kolmanda külje koosinusteoreemiga.
Kirjutame koosinusteoreemi külje AC jaoks.
AC2=AD2+DC2−2⋅AD⋅DC⋅cos∠ADC
Asendame teadaolevad suurused.
AC2=82+42−2⋅8⋅4⋅cos130∘≈64+16+41,14=121,14
Võtame ruutjuure.
AC≈121,14≈11,0 cm
4 cm8 cm8 cm130∘130∘≈11,0 cmABCD
cos130∘≈−0,6428 on negatiivne, sest nurk on nürinurk. Seega −2⋅8⋅4⋅cos130∘=−64⋅(−0,6428)≈+41,14. Täpsemalt AC≈11,006 cm; seda väärtust kasutame järgmises sammus.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia diagonaali ja aluse vaheline nurk
Otsime nurka CAB diagonaali AC ja aluse AB vahel. Kuna DC∥AB, on nurgad DCA ja CAB põiknurgad ja seega võrdsed. Nurga DCA leiame kolmnurgast ACD siinusteoreemiga: nurga DCA vastas on külg AD=8 cm ja nurga 130∘ vastas diagonaal AC.
Kirjutame siinusteoreemi.
sin∠DCAAD=sin130∘AC
Avaldame sin∠DCA ja asendame arvud.
sin∠DCA=ACAD⋅sin130∘≈11,0068⋅0,7660≈0,5568
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠CAB=∠DCA≈33,8∘
4 cm8 cm8 cm130∘130∘≈11,0 cm≈33,8∘ABCD
Nurk DCA on teravnurk, sest kolmnurgas saab olla ainult üks nürinurk ja see on tipus D. Kui arvutada ümardatud diagonaaliga AC=11, tuleb sin∠DCA≈0,5571 ja nurk ≈33,9∘ (nii on hindamisjuhendis). Täpsema väärtusega on nurk ≈33,84∘.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Leia trapetsi kõrgus
Kolmandas küsimuses tuleb leida pindala. Selleks on vaja kõrgust ja pikemat alust. Tõmbame tipust C kõrguse CE alusele AB. Tekib täisnurkne kolmnurk CEB, mille hüpotenuus on BC=8 cm ja teravnurk B on 50∘.
Kui tõmmata kõrgus ka tipust D, jääb kahe kõrguse vahele ristkülik, mille pikkus on DC=4 cm. Kõrguste kõrvale jäävad kaks võrdset täisnurkset kolmnurka.
Täpsemate vahetulemustega on pindala ≈56,03 cm². Kontrolliks: täisnurksest kolmnurgast ACE on AE=AB−EB≈9,142 cm ja tan∠CAB=9,1426,128≈0,670, mis annab samuti nurga ≈33,8∘.
VASTUS
1) Joonis on lahenduses. 2) Trapetsi diagonaal on ligikaudu 11,0 cm ning diagonaali ja aluse vaheline nurk on ligikaudu 33,8∘. 3) Trapetsi pindala on ligikaudu 56,0 cm².