Kitsas riigieksam 2023, ülesanne 8: Parabool ja x-teljega piiratud kujund
On antud funktsioon f(x)=−x2−2x+3.
1.Arvutage funktsiooni f(x) nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid.
2.Joonestage funktsiooni f(x) graafik.
3.Viirutage kujund, mis on piiratud x-telje ja funktsiooni f(x)=−x2−2x+3 graafikuga. Arvutage selle kujundi täpne pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2023, ülesanne 8
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 44,2% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Valemikaart: parabooli haripunkt
y=ax2+bx+c
xh=−2ab=2x1+x2
yh=f(xh)
Valemikaart: põhilised integraalid
∫dx=x+C,∫xndx=n+1xn+1+C,n=−1
∫x1dx=ln∣x∣+C
∫exdx=ex+C,∫axdx=lnaax+C
∫sinxdx=−cosx+C,∫cosxdx=sinx+C
∫cos2x1dx=tanx+C
C on konstant
Valemikaart: määratud integraal ja pindala
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
F on f algfunktsioon: F′(x)=f(x)
S=∫ab(f(x)−g(x))dx,kui f(x)≥g(x) lo˜igul [a;b]
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Nullkohad on ruutvõrrandi −x2−2x+3=0 lahendid. Kujund jääb x-teljel nullkohtade vahele, seega on pindala määratud integraal nullkohtade vahel.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia nullkohad
Esimeses küsimuses tuleb leida nullkohad. Nullkohas on funktsiooni väärtus null, seega lahendame ruutvõrrandi.
Võrdsustame funktsiooni nulliga.
−x2−2x+3=0
Korrutame mõlemaid pooli arvuga −1. Siis a=1, b=2 ja c=−3.
x2+2x−3=0
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
x1;2=2−2±4+12=2−2±16=2−2±4
Arvutame mõlemad lahendid.
x1=2−2−4=−3,x2=2−2+4=1
110xyx1=−3x2=1
Diskriminant on b2−4ac=22−4⋅1⋅(−3)=4+12=16. Võrrandi korrutamine arvuga −1 ei muuda lahendeid, aga ruutliikme kordaja muutub positiivseks ja arvutamine on lihtsam.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia haripunkt
Parabool on sümmeetriline, seega on haripunkt täpselt nullkohtade keskel.
Haripunkti esimene koordinaat on nullkohtade aritmeetiline keskmine.
xh=2x1+x2=2−3+1=−1
Teise koordinaadi saame funktsiooni väärtusest.
yh=f(−1)=−(−1)2−2⋅(−1)+3=−1+2+3=4
Kirjutame haripunkti.
H(−1;4)
110xyx1=−3x2=1H(−1;4)
Sama tulemuse annab valem xh=−2ab, kus a=−1 ja b=−2: xh=−2⋅(−1)−2=−1. Ruutliikme kordaja on negatiivne, seega avaneb parabool alla ja haripunkt on graafiku kõrgeim punkt. Tähelepanu: −(−1)2=−1, sest kõigepealt astendame ja siis võtame vastandarvu.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Koosta väärtuste tabel ja joonesta parabool
Teises küsimuses tuleb joonestada graafik. Valime x väärtused sümmeetriliselt haripunkti xh=−1 mõlemale poole.
Arvutame funktsiooni väärtused.
xy−4−5−30−23−1403102−5
Näiteks kohal x=−4:
f(−4)=−(−4)2−2⋅(−4)+3=−16+8+3=−5
110xyx1x2H(−1;4)y=−x2−2x+3(−4;−5)(−2;3)(2;−5)
f(−2)=−4+4+3=3, f(0)=3 ja f(2)=−4−4+3=−5. Punktid (−2;3) ja (0;3) ning (−4;−5) ja (2;−5) on sümmeetrilised sirge x=−1 suhtes. Märgime punktid teljestikku ja ühendame need sujuva joonega.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Viiruta kujund ja kirjuta integraal
Kolmandas küsimuses on kujund alt piiratud x-teljega ja ülalt parabooliga. Parabool lõikab x-telge nullkohtades −3 ja 1, need on integreerimisrajad.
Pindala on funktsiooni määratud integraal lõigul [−3;1].
S=∫−31(−x2−2x+3)dx
110xyx1x2H(−1;4)y=−x2−2x+3(−4;−5)(−2;3)(2;−5)
Nullkohtade vahel on alla avanev parabool x-teljest kõrgemal (f(x)≥0), seega on pindala lihtsalt funktsiooni integraal.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia algfunktsioon
Integreerime liikmete kaupa.
F(x)=−3x3−2⋅2x2+3x=−3x3−x2+3x
Kasutame valemit ∫xndx=n+1xn+1+C: ∫x2dx=3x3, ∫xdx=2x2 ja ∫3dx=3x. Määratud integraalis konstant C taandub ära.
(−3)3=−27, seega −3−27=9. 35+9=35+327=332. Täpne pindala jääb murruna; ligikaudu on see 10,67.
VASTUS
1) Funktsiooni nullkohad on x1=−3 ja x2=1 ning graafiku haripunkt on H(−1;4). 2) Graafik on joonisel. 3) Viirutatud kujundi täpne pindala on 332=1032 ruutühikut.