Kati otsustas oma füüsilise vormi parandamiseks käia iga päev kõndimas. Talle hakkas kõndimine järjest enam meeldima ning alates teisest päevast kasvas tema sammude hulk iga päevaga ühe ja sama arvu võrra. Esimese 30 päevaga tegi ta kokku 297 750 sammu, kusjuures kahe esimese päevaga kõndis ta 12 850 sammu. Mitu sammu tegi Kati
1)esimesel päeval;
2)30. päeval?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2023, ülesanne 9
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 19,4% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Päevade sammude arvud moodustavad aritmeetilise jada. Tähista esimese päeva sammude arv a1 ja päevane kasv d ning koosta tekstist kaks võrrandit.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Koosta esimene võrrand
Esimeses küsimuses tuleb leida esimese päeva sammude arv. Kuna sammude arv kasvab iga päevaga sama arvu võrra, moodustavad päevade sammude arvud aritmeetilise jada. Tähistame esimese päeva sammude arvu a1 ja päevase kasvu d. Teisel päeval tegi Kati a2=a1+d sammu.
Kahe esimese päevaga kõndis ta 12850 sammu.
a1+(a1+d)=12850
Koondame vasakul pool.
2a1+d=12850
Aritmeetilises jadas saadakse iga järgmine liige eelmisest, liites sellele jada vahe d.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Koosta teine võrrand
Esimese 30 päeva sammude summa on 297750. Kasutame aritmeetilise jada summa valemit.
Kirjutame summa valemi esimese 30 liikme jaoks.
S30=2(a1+a30)⋅30
Üldliikme valemist a30=a1+29d. Asendame selle ja summa 297750.
2(a1+a1+29d)⋅30=297750
Lihtsustame: 230=15 ja a1+a1=2a1.
(2a1+29d)⋅15=297750
Jagame mõlemaid pooli arvuga 15.
2a1+29d=19850
297750:15=19850. Valemis an=a1+(n−1)d on n=30, seega a30=a1+29d.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Lahenda võrrandisüsteem
Kirjutame mõlemad võrrandid süsteemina.
{2a1+d=128502a1+29d=19850
Lahutame teisest võrrandist esimese; 2a1 kaob ära.
28d=7000
Jagame mõlemaid pooli arvuga 28.
d=250
Asendame d=250 esimesse võrrandisse.
2a1+250=12850
Viime arvu 250 paremale poole.
2a1=12600
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2.
a1=6300
Liitmisvõttes lahutame võrrandid nii, et üks tundmatu kaob: (2a1+29d)−(2a1+d)=28d ja 19850−12850=7000. Kontroll: teisel päeval 6300+250=6550 sammu ja 6300+6550=12850.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia 30. päeva sammude arv
Teises küsimuses on vaja jada 30. liiget. Kasutame üldliikme valemit.
Kirjutame üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Asendame n=30, a1=6300 ja d=250.
a30=6300+29⋅250=6300+7250=13550
Kontroll summaga: S30=2(6300+13550)⋅30=19850⋅15=297750. See on tekstis antud summa.
VASTUS
1) Esimesel päeval tegi Kati 6300 sammu. 2) 30. päeval tegi Kati 13550 sammu.