Kitsas riigieksam 2019, ülesanne 9: Rööpkülik koordinaattasandil
On antud punktid A(−1;3), B(3;1) ja C(0;−3).
1.Leidke vektori BC pikkus.
2.Nelinurk ABCD on rööpkülik. Arvutage punkti D koordinaadid ja joonestage rööpkülik ABCD koordinaatteljestikku.
3.Arvutage rööpküliku ABCD pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2019, ülesanne 9
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: nelinurkade pindalad
Sristku¨lik=ab,Sro¨o¨pku¨lik=ah
Strapets=2a+b⋅h,Sromb=2d1d2
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Rööpküliku vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed, seega AD=BC. Pindala leidmiseks ümbritse rööpkülik ristkülikuga, mille küljed on telgedega paralleelsed.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia vektori BC koordinaadid
Esimeses küsimuses tuleb leida vektori BC pikkus. Kõigepealt leiame vektori koordinaadid: lõpp-punkti koordinaatidest lahutame alguspunkti koordinaadid.
Kirjutame vektori koordinaatide valemi.
AB=(x2−x1;y2−y1)
Alguspunkt on B(3;1) ja lõpp-punkt C(0;−3).
BC=(0−3;−3−1)=(−3;−4)
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta vektori pikkus
Kirjutame vektori pikkuse valemi.
∣a∣=ax2+ay2
Asendame koordinaadid −3 ja −4.
∣BC∣=(−3)2+(−4)2=9+16=25=5
110xy∣BC∣=5A(−1;3)B(3;1)C(0;−3)
Negatiivse arvu ruut on positiivne, seega vektori pikkus ei sõltu koordinaatide märkidest.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia tipp D
Teises küsimuses tuleb leida tipp D. Rööpkülikus ABCD on küljed AB, BC, CD ja DA. Külje BC vastaskülg on AD. Vastasküljed on paralleelsed ja võrdse pikkusega, seega on vektorid AD ja BC võrdsed.
Kirjutame vektorite võrduse.
AD=BC=(−3;−4)
Liidame punkti A koordinaatidele vektori koordinaadid.
D(−1+(−3);3+(−4))=D(−4;−1)
110xy∣BC∣=5A(−1;3)B(3;1)C(0;−3)D(−4;−1)
Punktist A liigume 3 ühikut vasakule ja 4 ühikut alla, täpselt nagu punktist B punkti C. Kontroll: AB=(4;−2) ja DC=(0−(−4);−3−(−1))=(4;−2) on samuti võrdsed.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Joonesta rööpkülik
Märgime punktid A, B, C ja D koordinaatteljestikku ja ühendame need järjest. Viimasena ühendame D ja A.
Kirjutame kõik neli tippu.
A(−1;3),B(3;1),C(0;−3),D(−4;−1)
110xyA(−1;3)B(3;1)C(0;−3)D(−4;−1)
Joonisel on näha, et vastasküljed AB ja DC ning BC ja AD on paralleelsed.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Ümbritse rööpkülik ristkülikuga
Kolmandas küsimuses on vaja pindala. Ümbritseme rööpküliku ristkülikuga, mille küljed on telgedega paralleelsed: x on −4 kuni 3 ja y on −3 kuni 3. Rööpkülik on see ristkülik, millest on ära lõigatud neli täisnurkset kolmnurka.
Arvutame ristküliku pindala. Küljed on 3−(−4)=7 ja 3−(−3)=6.
Sristku¨lik=7⋅6=42
Nurkades on kaks kolmnurka kaatetitega 4 ja 2 ning kaks kolmnurka kaatetitega 3 ja 4.
Skolmnurgad=2⋅24⋅2+2⋅23⋅4=8+12=20
110xyA(−1;3)B(3;1)C(0;−3)D(−4;−1)
Kolmnurgad loeme ruudustikult: ülemises paremas nurgas on A ja B vahel kaatetid 3−(−1)=4 ja 3−1=2, alumises paremas nurgas B ja C vahel 4 ja 3, alumises vasakus C ja D vahel 4 ja 2 ning ülemises vasakus D ja A vahel 4 ja 3. Täisnurkse kolmnurga pindala on pool kaatetite korrutisest.
Kontroll teise võttega: AB=(4;−2), AD=(−3;−4), ∣AB∣=20=25 ja ∣AD∣=5. Skalaarkorrutisest cosA=25⋅54⋅(−3)+(−2)⋅(−4)=105−4, siis sinA=1−50016=10522 ja S=25⋅5⋅10522=22.
VASTUS
1) Vektori BC pikkus on 5. 2) Tipp on D(−4;−1), rööpkülik on joonisel. 3) Rööpküliku ABCD pindala on 22 ruutühikut.