Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 10: Rööpkülik koordinaattasandil
Rööpküliku ABCD kaks tippu on A(−3;−2) ja B(−1;4). Külg BC on määratud vektoriga BC=(7;3).
1.Tehke joonis ning leidke tippude C ja D koordinaadid.
2.Arvutage külje AB pikkus.
3.Arvutage rööpküliku diagonaalide lõikepunkti K koordinaadid ning põhjendage, kas punkt K asub sirgel y=34x+1.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 10
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 40,21% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Rööpküliku vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed, seega AD=BC. Diagonaalid poolitavad teineteist.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia tipp C
Esimeses küsimuses tuleb leida tipud C ja D. Vektor BC näitab, kui palju tuleb punktist B liikuda, et jõuda punkti C: 7 ühikut paremale ja 3 ühikut üles.
Liidame punkti B koordinaatidele vektori BC koordinaadid.
C(−1+7;4+3)=C(6;7)
110xyBC=(7;3)A(−3;−2)B(−1;4)C(6;7)
Vektori koordinaadid on lõpp-punkti ja alguspunkti koordinaatide vahed: BC=(xC−xB;yC−yB). Seega xC=xB+7 ja yC=yB+3.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia tipp D
Rööpküliku vastasküljed on paralleelsed ja võrdse pikkusega, seega on vektor AD sama mis BC.
Kirjutame vektorite võrduse.
AD=BC=(7;3)
Liidame punkti A koordinaatidele vektori koordinaadid.
D(−3+7;−2+3)=D(4;1)
110xyBC=(7;3)A(−3;−2)B(−1;4)C(6;7)D(4;1)
Tippude järjekord ABCD tähendab, et küljed on AB, BC, CD ja DA. Külg AD on külje BC vastaskülg. Kontroll: AB=(2;6) ja DC=(6−4;7−1)=(2;6) on samuti võrdsed.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta külje AB pikkus
Teises küsimuses on vaja külje AB pikkust ehk punktide A ja B kaugust.
Kirjutame kahe punkti kauguse valemi.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Asendame A(−3;−2) ja B(−1;4).
AB=(−1−(−3))2+(4−(−2))2=22+62=40
Toome ruutjuure alt välja teguri, sest 40=4⋅10.
40=4⋅10=210
110xy210BC=(7;3)A(−3;−2)B(−1;4)C(6;7)D(4;1)
210≈6,32 ühikut.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Leia diagonaalide lõikepunkt K
Kolmandas küsimuses on vaja diagonaalide lõikepunkti. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist, seega on K diagonaali AC keskpunkt.
Kontroll teise diagonaaliga: BD keskpunkt on (2−1+4;24+1)=(1,5;2,5), sama punkt.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Kontrolli, kas K on sirgel
Punkt asub sirgel, kui tema koordinaadid rahuldavad sirge võrrandit. Arvutame sirge y väärtuse kohal x=1,5 ja võrdleme seda punkti K teise koordinaadiga.
34⋅1,5=34⋅23=2. Sirge läbib punkti (1,5;3), mis on punktist K pool ühikut kõrgemal.
VASTUS
1) Tipud on C(6;7) ja D(4;1) (joonis on lahenduses). 2) Külje AB pikkus on 210≈6,32. 3) Diagonaalide lõikepunkt on K(1,5;2,5). See ei asu sirgel y=34x+1, sest kohal x=1,5 on sirge y=3=2,5.