Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 12: Maatükk kolmnurgast trapetsiks
Taluniku maatükk oli algselt nürinurkse kolmnurga ABC kujuline. Kolmnurga ABC kaks külge on AB=115 m ja AC=235 m ning nurk nende külgede vahel on 37∘ (vt joonist).
1.Arvutage maatüki ABC pindala.
2.Talunikul tekkis võimalus oma maatüki kõrvalt maad juurde osta. Pärast ostu on tema maatükk täisnurkse trapetsi ABCD kujuline, kus külg AB on pikemaks haaraks.Täiendage joonist ja arvutage maatüki ABCD pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 12
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 30,38% punktidest (Harno aruanne).
Ülesande joonis
ABC
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kolmnurga pindala saad kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu. Trapetsi teine alus AD on paralleelne küljega BC ja haar CD on alustega risti; leia kõigepealt BC ja nurk BCA.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta kolmnurga ABC pindala
Esimeses küsimuses on teada kaks külge ja nendevaheline nurk. Siis saab pindala arvutada siinusega.
Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.
SABC=21⋅AB⋅AC⋅sin∠BAC
Asendame AB=115, AC=235 ja ∠BAC=37∘.
SABC=21⋅115⋅235⋅sin37∘≈13512,5⋅0,6018≈8132 m2
115 m235 m37∘8132 m2ABC
21⋅115⋅235=13512,5 ja sin37∘≈0,60182. Taskuarvutil peab olema kraadirežiim (DEG).
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Täienda joonist trapetsiks
Teises küsimuses on maatükk täisnurkne trapets ABCD ja AB on selle pikem haar. Seega on teine haar CD alustega risti ja alused on BC ning AD. Tõmbame punktist C küljega BC risti oleva lõigu ja punktist A küljega BC paralleelse lõigu; nende lõikepunkt on D.
Trapetsi alused on paralleelsed ja haar CD on nendega risti.
AD∥BC,∠BCD=∠CDA=90∘
115 m235 m37∘8132 m2ABCD
Täisnurkses trapetsis on üks haar alustega risti. Kuna AB on kaldu (pikem haar), on risti olev haar CD. Juurde ostetud maa on täisnurkne kolmnurk ACD, seega SABCD=SABC+SACD.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia külg BC koosinusteoreemiga
Kolmnurgas ABC on teada kaks külge ja nendevaheline nurk, seega saame kolmanda külje koosinusteoreemiga.
2⋅115⋅235=54050 ja 54050⋅cos37∘≈54050⋅0,79864≈43166,2.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia nurk BCA siinusteoreemiga
Tähistame γ=∠BCA. Nurga γ vastas on külg AB ja nurga 37∘ vastas külg BC.
Kirjutame siinusteoreemi.
sinγAB=sin37∘BC
Avaldame sinγ ja asendame arvud.
sinγ=BCAB⋅sin37∘≈159,01115⋅0,60182≈0,43525
Leiame nurga taskuarvutiga.
γ≈25,80∘
115 m235 m37∘8132 m2≈159,0 mγ≈25,8∘ABCD
Siinuse järgi on kaks võimalikku nurka (25,80∘ ja 154,20∘), aga γ peab olema teravnurk: tema vastas olev külg AB=115 m on lühem kui külg AC=235 m, seega on γ väiksem kui nurk B. Nürinurk on kolmnurgas tipus B (180∘−37∘−25,80∘≈117,2∘).
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia kolmnurga ACD kaatetid
Kolmnurk ACD on täisnurkne (täisnurk tipus D) ja selle hüpotenuus on AC=235 m. Kuna AD∥BC, on nurgad CAD ja BCA põiknurgad ja seega võrdsed: ∠CAD=γ.
Täisnurkses kolmnurgas sinγ=hu¨potenuusvastaskaatet ja cosγ=hu¨potenuusla¨hiskaatet. Kontroll Pythagorase teoreemiga: 102,282+211,572≈2352. Lisaks CD≈102,28 m <AB=115 m, seega AB on tõesti pikem haar.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Arvuta trapetsi pindala
Täisnurkse kolmnurga pindala on pool kaatetite korrutisest.
SACD=2AD⋅CD≈2211,57⋅102,28≈10820 m2
Liidame algse maatüki ja juurde ostetud osa pindala.