Lai riigieksam 2016, ülesanne 7: Kolmnurkse maatüki külg, pindala ja mediaan
Kolmnurkse maatüki ABCkülg AB on 237 m ja külg AC on 470 m. Nurk antud külgede vahel on 112∘.
1.Arvutage maatüki kolmas külg BC meetrites (ümardage ühelisteni) ja maatüki pindala hektarites (ümardage sajandikeni).
2.Soovitakse rajada teelõik maatüki tipust A külje BC keskpunktini. Kui pikk teelõik meetrites (ümardage ühelisteni) tuleks rajada?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2016, ülesanne 7
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kolmanda külje leiad koosinusteoreemiga, pindala kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse kaudu. Teelõik on mediaan; selle pikkuse leidmiseks pikenda mediaani sama palju üle punkti M, siis tekib rööpkülik.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia külg BC koosinusteoreemiga
Esimeses küsimuses tuleb leida kolmas külg. Teame kahte külge ja nendevahelist nurka, seega kasutame koosinusteoreemi.
Kirjutame koosinusteoreemi küljele BC, mis on nurga A vastas.
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos112∘
Asendame külgede pikkused. cos112∘≈−0,37461 on negatiivne, seega viimane liige tuleb liita.
2⋅237⋅470=222780 ja 222780⋅cos112∘≈−83454,86. Nürinurga koosinus on negatiivne, seega on nürinurga vastaskülg pikem, kui oleks täisnurga korral (277069≈526 m). Ümardame alles lõpus, vahetulemusi hoiame täpsemana.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta pindala hektarites
Pindala leiame kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse kaudu.
Kirjutame pindala valemi.
S=21⋅AB⋅AC⋅sin112∘
Asendame külgede pikkused. sin112∘≈0,92718.
S=21⋅237⋅470⋅sin112∘=55695⋅sin112∘≈51639,5 m2
Üks hektar on 10000 m². Jagame 10000-ga ja ümardame sajandikeni.
51639,5 m2=5,16395 ha≈5,16 ha
237 m470 m≈600 m112∘S≈5,16 haABC
1 ha=100 m⋅100 m=10000 m2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Moodusta rööpkülik
Teises küsimuses on teelõik AM, kus M on külje BC keskpunkt. See on kolmnurga mediaan. Pikendame lõiku AM üle punkti M sama palju ja saame punkti D, nii et AM=MD.
Nelinurga ABDC diagonaalid AD ja BC poolitavad teineteist, seega on see rööpkülik.
BD=AC=470 m
Rööpküliku ühe külje lähisnurkade summa on 180∘.
∠ABD=180∘−112∘=68∘
237 m470 m≈600 m112∘470 m68∘ABCMD
Rööpküliku vastasküljed on võrdsed, seega BD=AC. Küljed AC ja BD on paralleelsed, seega nurgad ∠BAC ja ∠ABD on lõikaja AB ühel pool olevad sisenurgad ja nende summa on 180∘. Teelõik on pool diagonaalist AD.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia diagonaal AD
Kolmnurgas ABD teame kahte külge ja nendevahelist nurka. Kasutame jälle koosinusteoreemi.
Kirjutame koosinusteoreemi küljele AD.
AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅cos68∘
Asendame. cos68∘≈0,37461 on positiivne, seega viimane liige tuleb lahutada.
cos68∘=−cos112∘, seega on viimane liige sama suur kui esimeses küsimuses, ainult märk on teine.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta teelõigu pikkus
Teelõik on pool diagonaalist AD. Ümardame ühelisteni.
AM=2AD≈2440,02=220,01≈220 m
237 m470 m≈600 m112∘470 m68∘≈220 mABCMD
Teine tee: leia kolmnurgast ABC koosinusteoreemiga cosB=2⋅BC⋅ABBC2+AB2−AC2≈0,688 ja siis kolmnurgast ABM (BM=2BC≈300,2 m) AM2=AB2+BM2−2⋅AB⋅BM⋅cosB. Tulemus on sama, AM≈220 m.
VASTUS
1) Maatüki kolmas külg on BC≈600 m ja pindala on ligikaudu 5,16 ha. 2) Teelõigu pikkus on ligikaudu 220 m.