Lai riigieksam 2016, ülesanne 8: Võrdhaarne kolmnurk, sirge ja ringjoon
Võrdhaarse kolmnurga ABC üks tipp on punktis A(4;−3), teine tipp C asub sirgel y=7 ja kolmnurga aluse AB määrab vektor AB=(4;8).
1.Arvutage punkti B koordinaadid.
2.Koostage sirge AB võrrand.
3.Ringjoone diameeter on kolmnurga ABC alus AB. Koostage selle ringjoone võrrand.
4.Arvutage punkti C koordinaadid.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2016, ülesanne 8
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: ringjoone võrrand
(x−a)2+(y−b)2=r2
(a;b) on keskpunkt,r raadius
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Punkti B koordinaadid saad, kui liidad punkti A koordinaatidele vektori koordinaadid. Ringjoone keskpunkt on aluse keskpunkt. Võrdhaarse kolmnurga tipp C on alusest võrdsel kaugusel: CA=CB.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkt B
Esimeses küsimuses tuleb leida punkt B. Vektori koordinaadid on lõpp- ja alguspunkti koordinaatide vahed, seega lõpp-punkt on alguspunkt pluss vektor.
Kirjutame vektori koordinaadid punktide kaudu, kus B(x;y).
AB=(x−4;y−(−3))=(4;8)
Võrdsustame koordinaadid.
x−4=4⇒x=8,y+3=8⇒y=5
Kirjutame punkti koordinaadid.
B(8;5)
110xyA(4;−3)y=7B(8;5)
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Koosta sirge AB võrrand
Teises küsimuses on vaja sirge AB võrrandit. Sirge tõusu saame vektori AB=(4;8) koordinaatidest.
Tõus on y-koordinaatide muut jagatud x-koordinaatide muuduga.
k=x2−x1y2−y1=48=2
Kirjutame sirge võrrandi punkti A(4;−3) ja tõusu kaudu.
y−(−3)=2(x−4)
Avame sulud ja viime arvu 3 paremale poole.
y+3=2x−8⇒y=2x−11
110xyA(4;−3)y=7B(8;5)y=2x−11
Kontroll punktiga B: 2⋅8−11=5, seega B(8;5) on sirgel.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 3Samm 3: Leia ringjoone keskpunkt
Kolmandas küsimuses on AB ringjoone diameeter. Diameetri keskpunkt on ringjoone keskpunkt.
Kasutame lõigu keskpunkti valemit.
M(24+8;2−3+5)=M(6;1)
110xyA(4;−3)y=7B(8;5)y=2x−11M(6;1)r=25
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Leia raadius ja kirjuta võrrand
Raadius on pool diameetrist ehk pool vektori AB pikkusest.
Arvutame vektori pikkuse.
∣AB∣=42+82=80=45
Raadius on pool diameetrist.
r=245=25,r2=20
Kirjutame ringjoone võrrandi, kus keskpunkt on (6;1).
(x−6)2+(y−1)2=20
80=16⋅5=45. Võrrandisse läheb r2=(25)2=4⋅5=20. Kontroll: punkt A on ringjoonel, sest (4−6)2+(−3−1)2=4+16=20.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 4Samm 5: Koosta võrrand punkti C jaoks
Neljandas küsimuses on vaja punkti C. Kolmnurk on võrdhaarne ja AB on alus, seega haarad on võrdsed: CA=CB. Punkt C asub sirgel y=7, seega C(x;7).
Kirjutame kauguste ruudud kahe punkti kauguse valemiga.
CA2=(x−4)2+(7−(−3))2=(x−4)2+100
Sama punkti B jaoks.
CB2=(x−8)2+(7−5)2=(x−8)2+4
Haarad on võrdsed, seega on võrdsed ka nende ruudud.
(x−4)2+100=(x−8)2+4
Kauguse asemel võrdleme kauguste ruute, siis ei pea ruutjuurt võtma.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Lahenda võrrand
Avame sulud mõlemal pool.
x2−8x+16+100=x2−16x+64+4
x2 koondub ära. Viime x-iga liikmed vasakule ja arvud paremale.
−8x+16x=68−116
Koondame ja jagame mõlemaid pooli arvuga 8.
8x=−48⇒x=−6
Kirjutame punkti koordinaadid.
C(−6;7)
110xyA(4;−3)y=7B(8;5)y=2x−11M(6;1)r=25C(−6;7)
Kontroll: CA2=(−10)2+102=200 ja CB2=(−14)2+22=196+4=200. Teine tee: tipp C asub aluse keskristsirgel, mis läbib punkti M(6;1) ja on sirgega AB risti (tõus −21): y=−0,5x+4. Kui y=7, siis x=−6.
VASTUS
1) Punkt B on B(8;5). 2) Sirge AB võrrand on y=2x−11. 3) Ringjoone võrrand on (x−6)2+(y−1)2=20. 4) Punkt C on C(−6;7).