Lai riigieksam 2020, ülesanne 7: Kolmnurga pindala ja lõik BD
Kolmnurgas ABC on külje AB pikkus 7 cm, külje BC pikkus 8 cm ja külje AC pikkus 9 cm.Küljel AC on valitud punkt D nii, et nurk ADB on kaks korda suurem nurgast ACB. Arvutage kolmnurga ABC pindala ja lõigu BD täpne pikkus.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2020, ülesanne 7
Valemikaart: heroni valem
S=p(p−a)(p−b)(p−c)
p=2a+b+c on poolu¨mbermo˜o˜t
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Pindala saab arvutada kolme külje järgi Heroni valemiga. Nurk ADB on kolmnurga BDC välisnurk; mida see ütleb nurga DBC kohta?
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Arvuta pindala Heroni valemiga
Esimesena tuleb leida kolmnurga ABC pindala. Kõik kolm külge on teada, seega sobib Heroni valem.
Leiame poolümbermõõdu.
p=27+8+9=224=12 (cm)
Kirjutame Heroni valemi.
S=p(p−a)(p−b)(p−c)
Asendame p=12 ja küljed 7, 8, 9.
S=12⋅5⋅4⋅3=720=144⋅5=125(cm2)
7 cm8 cmS=125 cm29 cmABC
p−7=5, p−8=4 ja p−9=3. Täpse vastuse saamiseks lihtsustame juurt: 720=144⋅5 ja 144=12.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Uuri nurki kolmnurgas BDC
Teisena tuleb leida lõik BD. Tähistame ∠ACB=γ, siis ∠ADB=2γ. Nurk ADB on kolmnurga BDC välisnurk tipu D juures.
Kolmnurga välisnurk võrdub kahe mitte-kõrvuti sisenurga summaga.
∠ADB=∠DBC+∠DCB
Asendame ∠ADB=2γ ja ∠DCB=γ.
2γ=∠DBC+γ
Lahutame mõlemast poolest γ.
∠DBC=γ
7 cm8 cmγ2γABCD
Nurgad ADB ja BDC on kõrvunurgad, seega ∠BDC=180∘−2γ. Kolmnurga BDC nurkade summast ∠DBC=180∘−γ−(180∘−2γ)=γ.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Järelda, et kolmnurk BDC on võrdhaarne
Kolmnurgas BDC on nurgad tippudes B ja C võrdsed.
∠DBC=∠DCB=γ
Võrdsete nurkade vastas on võrdsed küljed.
BD=DC
7 cm8 cmγ2γγABCD
Nurga DBC vastas on külg DC ja nurga DCB vastas külg BD. Kolmnurk BDC on võrdhaarne alusega BC.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia nurga C koosinus
Nurga γ koosinuse saame kolmnurgast ABC koosinusteoreemiga. Nurga C vastas on külg AB.
Kirjutame koosinusteoreemi külje AB jaoks.
AB2=AC2+BC2−2⋅AC⋅BC⋅cosγ
Asendame AB=7, AC=9 ja BC=8.
49=81+64−2⋅9⋅8⋅cosγ
Arvutame.
49=145−144cosγ
Avaldame cosγ.
cosγ=144145−49=14496=32
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Arvuta lõigu BD pikkus
Võrdhaarse kolmnurga BDC kõrgus DM poolitab aluse BC, seega MC=4 cm. Kolmnurk DMC on täisnurkne, täisnurk on tipus M.
Täisnurkses kolmnurgas DMC on koosinus lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe.
cosγ=DCMC
Avaldame DC ning asendame MC=4 ja cosγ=32.
DC=cosγMC=4:32=4⋅23=6 (cm)
Kuna BD=DC, on ka lõik BD sama pikk.
BD=6 (cm)
7 cmγ2γγ44ABCDM
Sama tuleb koosinusteoreemist kolmnurgas BDC: BD2=DC2+82−2⋅DC⋅8⋅32. Kuna BD=DC, jääb 0=64−332DC ehk DC=6.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Kontrolli punkti D asukohta
Punkt D peab olema küljel AC, seega DC ei tohi olla pikem kui AC=9.
AD=AC−DC=9−6=3 (cm)
Kontrollime kolmnurgas ABD nurga ADB koosinust koosinusteoreemiga.
cos∠ADB=2⋅AD⋅BDAD2+BD2−AB2=2⋅3⋅69+36−49=−91
Kahekordse nurga koosinus annab sama tulemuse.
cos2γ=2cos2γ−1=2⋅94−1=−91
7 cm6 cm6 cm3 cmγ2γγ44ABCDM
Mõlemad koosinused on −91 ja mõlemad nurgad on vahemikus 0∘ kuni 180∘, seega ∠ADB=2γ. Punkt D sobib.
VASTUS
Kolmnurga ABC pindala on 125 cm2 ja lõigu BD pikkus on 6 cm.