Lai riigieksam 2026, ülesanne 4: Ristküliku pindala võrratus
Ristküliku lähisküljed on (4x+1) cm ja (x−2) cm. Leidke muutuja x kõikvõimalikud väärtused, mille korral on selle ristküliku pindala väiksem kui 28 cm2.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2026, ülesanne 4
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Märgiskeem
Täitub sammus 3.
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Ristküliku pindala on lähiskülgede korrutis. Ära unusta, et külje pikkus peab olema positiivne.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Koosta võrratus
Ristküliku pindala on lähiskülgede korrutis. See peab olema väiksem kui 28.
Korrutame küljed ja kirjutame tingimuse võrratusena.
(4x+1)(x−2)<28
Ühikuid (cm ja cm2) võrratusse ei kirjutata: kõik pikkused on sentimeetrites ja pindala ruutsentimeetrites, seega klapivad arvud omavahel.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Vii võrratus ruutvõrratuse kujule
Korrutame sulud, korrutades esimese sulu iga liikme teise sulu iga liikmega.
4x2−8x+x−2<28
Koondame sarnased liikmed ja viime arvu 28 vasakule poole, muutes selle märgi.
4x2−7x−2−28<0
Arvutame vabaliikme.
4x2−7x−30<0
Ruutvõrratust on kõige lihtsam lahendada siis, kui paremal pool on null. Siis tuleb vaid leida, kus ruutfunktsioon y=4x2−7x−30 on negatiivne.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Leia nullkohad
Leiame ruutfunktsiooni nullkohad, lahendades vastava ruutvõrrandi lahendivalemiga.
Võrdsustame vasaku poole nulliga. Siin a=4, b=−7 ja c=−30.
4x2−7x−30=0
Kirjutame lahendivalemi.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
x1;2=87±49+480=87±529=87±23
Arvutame mõlemad lahendid.
x1=87−23=−2,x2=87+23=3,75
Diskriminant on b2−4ac=(−7)2−4⋅4⋅(−30)=49+480=529 ja 529=23. Miinusmärgiga c korral muutub −4ac positiivseks.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Lahenda ruutvõrratus
Ruutliikme kordaja 4 on positiivne, seega avaneb parabool üles. Parabool on allpool x-telge nullkohtade vahel.
Kirjutame vahemiku, kus avaldis on negatiivne. Nullkohad ise ei sobi, sest võrratus on range.
−2<x<3,75
Üles avaneva parabooli väärtused on negatiivsed täpselt nullkohtade vahel ja positiivsed väljaspool neid. Märgiskeemil on see näha märkidena +, −, +.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Arvesta, et küljed on positiivsed
Ristküliku külje pikkus saab olla ainult positiivne. Seega peavad mõlemad küljed olema suuremad kui null.
Esimene külg peab olema positiivne.
4x+1>0⇒x>−0,25
Teine külg peab olema positiivne.
x−2>0⇒x>2
Kui x>2, siis kehtib ka x>−0,25. Seega jääb alles üks tingimus.
x>2
x−2<x<3,75x>2−2023,75
Võrratus (4x+1)(x−2)<28 kehtib ka näiteks siis, kui x=0, aga siis oleks teine külg 0−2=−2 cm, mis pole võimalik. Seepärast tuleb ruutvõrratuse lahendist võtta ainult need x väärtused, mille korral mõlemad küljed on positiivsed.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Leia tingimuste ühisosa
Peavad kehtima nii pindala tingimus kui ka külgede tingimus.
Kirjutame mõlemad tingimused võrratusesüsteemina.
{−2<x<3,75x>2
Ühisosa on vahemik kahest kolme koma seitsme viieni.
2<x<3,75
x−2<x<3,75x>2−2023,75
Arvteljel on ühisosa see piirkond, kus mõlemad viirutused kattuvad. Otspunktid ei kuulu vastusesse: kui x=2, on üks külg null, ja kui x=3,75, on pindala täpselt 28cm2.
VASTUS
Ristküliku pindala on väiksem kui 28cm2, kui 2<x<3,75 ehk x∈(2;3,75).