Lai riigieksam 2018, ülesanne 8: Täisnurkne kolmnurk koordinaattasandil
Punktid A(−5;−4) ja B(3;2) on täisnurkse kolmnurga ABC hüpotenuusi tipud.Kaatet AC asub sirgel y=2x+6.
1.Koostage sirge BC võrrand ja arvutage punkti C koordinaadid.
2.Joonestage kolmnurk ABC koordinaatteljestikku.
3.x-telg jaotab kolmnurga ABC kaheks osaks. Leidke x-teljest allapoole jääva osa pindala.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2018, ülesanne 8
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Hüpotenuusi otspunktid on teravnurkade tipud, seega on täisnurk tipu C juures ja BC⊥AC. Risti olevate sirgete tõusude korrutis on −1.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia sirge BC tõus
Esimeses küsimuses on vaja sirge BC võrrandit. AB on hüpotenuus, seega on täisnurk selle vastas, tipu C juures. Kaatetid AC ja BC on teineteisega risti.
Sirge AC võrrandist y=2x+6 on näha tema tõus.
kAC=2
Risti olevate sirgete tõusude korrutis on −1.
kAC⋅kBC=−1
Asendame kAC=2 ja jagame mõlemaid pooli kahega.
2⋅kBC=−1⇒kBC=−21
110xyy=2x+6A(−5;−4)B(3;2)
Kontrolliks: punkt A asub sirgel AC, sest 2⋅(−5)+6=−4. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on alati täisnurga vastas.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Koosta sirge BC võrrand
Sirge BC läbib punkti B(3;2) ja selle tõus on −21.
Kirjutame punkti ja tõusuga määratud sirge võrrandi.
y−y1=k(x−x1)
Asendame x1=3, y1=2 ja k=−21.
y−2=−21(x−3)
Avame sulud.
y−2=−0,5x+1,5
Liidame mõlemale poolele 2.
y=−0,5x+3,5
110xyy=2x+6y=−0,5x+3,5A(−5;−4)B(3;2)
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Leia punkt C
Punkt C asub mõlemal kaatetil, seega on see sirgete AC ja BC lõikepunkt.
Võrdsustame sirgete võrrandite paremad pooled.
2x+6=−0,5x+3,5
Viime x-iga liikmed vasakule ja arvud paremale.
2,5x=−2,5
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2,5.
x=−1
Asendame x=−1 sirge AC võrrandisse.
y=2⋅(−1)+6=4
Kirjutame punkti koordinaadid.
C(−1;4)
110xyy=2x+6y=−0,5x+3,5A(−5;−4)B(3;2)C(−1;4)
Kontrolliks sirge BC võrrandist: −0,5⋅(−1)+3,5=0,5+3,5=4.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Joonesta kolmnurk
Teises küsimuses tuleb kolmnurk joonestada. Kanname kolm tippu teljestikku (üks ruut on üks ühik) ja ühendame need lõikudega.
Kolmnurga tippude koordinaadid.
tippxyA−5−4B32C−14
110xyA(−5;−4)B(3;2)C(−1;4)
Tipu C juures on täisnurk. Joonisel on näha, et tipp A on x-teljest allpool ning tipud B ja C ülalpool.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia x-telje ja külje AC lõikepunkt
Kolmandas küsimuses on vaja x-teljest allapoole jääva osa pindala. Tipp A on x-teljest allpool, tipud B ja C ülalpool, seega lõikab x-telg külgi AC ja AB. Allapoole jääb kolmnurk. Leiame kõigepealt lõikepunkti küljega AC.
x-telje punktides on y=0. Asendame selle sirge AC võrrandisse.
0=2x+6
Lahendame võrrandi.
2x=−6⇒x=−3
Tähistame lõikepunkti tähega M.
M(−3;0)
110xyA(−5;−4)B(3;2)C(−1;4)M(−3;0)
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Leia x-telje ja külje AB lõikepunkt
Selleks on vaja sirge AB võrrandit. See läbib punkte A(−5;−4) ja B(3;2).
Arvutame sirge tõusu kahe punkti kaudu.
k=x2−x1y2−y1=3−(−5)2−(−4)=86=43
Kirjutame sirge võrrandi punkti B(3;2) kaudu.
y−2=43(x−3)
Asendame y=0.
−2=43(x−3)
Korrutame mõlemaid pooli arvuga 34.
x−3=−38
Liidame mõlemale poolele 3.
x=3−38=31
Tähistame lõikepunkti tähega N.
N(31;0)
110xyA(−5;−4)B(3;2)C(−1;4)M(−3;0)N(31;0)
Sirge AB võrrand on y=43x−41. Kontrolliks punkt A: 43⋅(−5)−41=−416=−4.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 3Samm 7: Arvuta kolmnurga AMN pindala
x-teljest allapoole jääb kolmnurk AMN. Selle alus MN asub x-teljel ja kõrgus on tipu A kaugus x-teljest.
Aluse pikkus on lõikepunktide x-koordinaatide vahe.
MN=31−(−3)=31+3=310
Kõrgus on punkti Ay-koordinaadi absoluutväärtus.
h=∣−4∣=4
Kirjutame kolmnurga pindala valemi.
S=2a⋅h
Asendame a=310 ja h=4.
S=2310⋅4=2340=320≈6,67
110xyA(−5;−4)B(3;2)C(−1;4)M(−3;0)N(31;0)S=320
x-telg on alusega MN samal sirgel, seega on tipust A alusele tõmmatud kõrgus vertikaalne lõik pikkusega 4. 320=632.
VASTUS
1) Sirge BC võrrand on y=−0,5x+3,5 ja tipp C on C(−1;4). 2) Kolmnurk ABC on joonisel. 3) x-teljest allapoole jääva osa pindala on 320≈6,67 ruutühikut.