Lai riigieksam 2018, ülesanne 9: Pärlitest kaelakee
Kaupluses on müügil 41 pärlist koosnev kaelakee, mille keskmine pärl on kõige suurem ja kõige kallim. Keskmisest pärlist kee kummagi otsa poole liikudes on iga järgmine pärl eelmisest ühe ja sama summa võrra odavam.Kõige kallim pärl maksab 55 eurot ja sellest ülejärgmised 52 eurot.
1.Kui palju maksab üks kõige odavamatest pärlitest?
2.Kui palju maksab see kaelakee, st kõik pärlid kokku?
3.Ühel kaelakee pärlitest tekkis mõra ja selle pärli hind vähenes 51 võrra. Kaelakee hind vähenes seetõttu 6,5 euro võrra. Kui palju maksis see pärl enne mõra tekkimist?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2018, ülesanne 9
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Vaata pärleid keskmisest pärlist ühe otsa poole. Nende hinnad moodustavad aritmeetilise jada, mille esimene liige on 55 ja kolmas liige 52.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Koosta aritmeetiline jada
Esimeses küsimuses on vaja kõige odavama pärli hinda. Vaatame pärleid keskmisest pärlist kee ühe otsani. Iga järgmine on sama summa võrra odavam, seega moodustavad hinnad aritmeetilise jada. Kõige kallim pärl on jada esimene liige ja sellest ülejärgmine on kolmas liige.
Kirjutame jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Asendame a1=55 ja a3=52.
52=55+2d
Viime arvu 55 vasakule poole.
2d=52−55=−3
Jagame mõlemaid pooli kahega.
d=−1,5
Ülejärgmine pärl on kaks kohta edasi: esimesest teise ja teisest kolmandasse. Jada vahe on negatiivne, sest hinnad kahanevad. Iga pärl on eelmisest 1,5 eurot odavam.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia kõige odavama pärli hind
Kees on 41 pärlit: keskmine pärl ja kummalgi pool 20 pärlit. Keskmisest pärlist otsani on seega 1+20=21 pärlit. Kõige odavam on kee otsas olev pärl, jada 21. liige.
Asendame üldliikme valemisse a1=55, n=21 ja d=−1,5.
a21=55+(21−1)⋅(−1,5)=55+20⋅(−1,5)=55−30=25
41−1=40 pärlit jaguneb kahe poole vahel võrdselt, 40:2=20. Kõige odavamaid pärleid on kaks, kummaski otsas üks.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia ühe poole hind koos keskmise pärliga
Teises küsimuses on vaja kõigi pärlite hinda. Arvutame kõigepealt ühe poole 21 pärli hinna koos keskmise pärliga.
Kirjutame aritmeetilise jada summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame a1=55, a21=25 ja n=21.
S21=2(55+25)⋅21=280⋅21=40⋅21=840
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Liida teine pool
Teisel pool on samad hinnad, aga keskmine pärl on juba arvestatud. Seega on teise poole 20 pärli hind 840−55 eurot.
Teise poole hind ilma keskmise pärlita.
840−55=785
Liidame kaks poolt kokku.
S=840+785=1625
Sama tulemuse annab 2⋅840−55: kaks poolt koos keskmise pärliga, millest keskmine pärl on kaks korda sees ja tuleb üks kord lahutada.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia mõraga pärli hind
Kolmandas küsimuses vähenes ühe pärli hind 51 võrra ehk viiendiku võrra selle pärli algsest hinnast. Kaelakee hind vähenes sama summa võrra, 6,5 eurot. Tähistame pärli algse hinna tähega x.
Viiendik pärli hinnast on 6,5 eurot.
51x=6,5
Korrutame mõlemaid pooli viiega.
x=5⋅6,5=32,5
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Kontrolli, et selline pärl on kees
Kontrollime, kas 32,5 eurot on mõne pärli hind, ehk kas see on jada liige.
Kirjutame üldliikme valemi, kus an=32,5.
32,5=55+(n−1)⋅(−1,5)
Viime 55 vasakule poole.
−22,5=(n−1)⋅(−1,5)
Jagame mõlemaid pooli arvuga −1,5.
n−1=15⇒n=16
n=16 on naturaalarv ja 16≤21, seega on selline pärl olemas: see on keskmisest pärlist 15 koha võrra kee otsa poole (kummalgi pool üks).
VASTUS
1) Kõige odavam pärl maksab 25 eurot. 2) Kaelakee maksab 1625 eurot. 3) Mõraga pärl maksis enne mõra tekkimist 32,5 eurot.