Lai riigieksam 2018, ülesanne 7: Kera ja selle diameeter ruumis
Kera diameetri otspunktid on A(−1;3;4) ja B(3;−4;0).
1.Arvutage kera keskpunkti O koordinaadid ja kera ruumala.
2.Punkt C(4;1;−1) asub kera pinnal. Arvutage nurk ACB.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2018, ülesanne 7
Valemikaart: kera
V=34πr3
S=4πr2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Keskpunkt on diameetri keskpunkt ja raadius on pool diameetrist. Nurga leidmiseks arvuta vektorite CA ja CB skalaarkorrutis.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia kera keskpunkt
Esimeses küsimuses on vaja kera keskpunkti. Kera keskpunkt on iga diameetri keskpunkt, seega on O lõigu AB keskpunkt.
Kirjutame lõigu keskpunkti valemi ruumis. Iga koordinaat on otspunktide koordinaatide aritmeetiline keskmine.
O(2x1+x2;2y1+y2;2z1+z2)
Asendame punktide A(−1;3;4) ja B(3;−4;0) koordinaadid.
O(2−1+3;23+(−4);24+0)=O(1;−0,5;2)
ABO
Lohista, et pöörata
Diameeter läbib kera keskpunkti ja keskpunkt jaotab selle kaheks raadiuseks. Valem on sama mis tasandil, ainult kolmas koordinaat z tuleb juurde.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia diameetri pikkus ja raadius
Ruumala jaoks on vaja raadiust. Leiame kõigepealt diameetri AB pikkuse.
Kirjutame kahe punkti vahelise kauguse valemi ruumis.
∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
Asendame koordinaadid ja arvutame.
∣AB∣=(3+1)2+(−4−3)2+(0−4)2=16+49+16=81=9
Raadius on pool diameetrist.
r=29=4,5
ABOr=4,5
Lohista, et pöörata
Raadiuse võib leida ka keskpunkti kaudu: ∣OB∣=22+(−3,5)2+(−2)2=20,25=4,5.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta kera ruumala
Kirjutame kera ruumala valemi.
V=34πr3
Asendame r=4,5. Kõigepealt arvutame kuubi: 4,53=91,125.
V=34π⋅4,53=34⋅91,125π=3364,5π=121,5π
Arvutame ligikaudse väärtuse.
121,5π≈381,7
Täpne väärtus on 121,5π=2243π. Kuup: 4,52=20,25 ja 20,25⋅4,5=91,125.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia vektorid CA ja CB
Teises küsimuses tuleb leida nurk ACB. Selle nurga tipp on C ja haarad on lõigud CA ja CB. Nurga leiame vektorite CA ja CB abil.
Vektori koordinaadid on lõpp-punkti ja alguspunkti koordinaatide vahed.
CA=(−1−4;3−1;4−(−1))=(−5;2;5)
Samamoodi teine vektor.
CB=(3−4;−4−1;0−(−1))=(−1;−5;1)
ABOC
Lohista, et pöörata
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta skalaarkorrutis ja nurk
Kirjutame nurga koosinuse valemi skalaarkorrutise kaudu.
cos∠ACB=∣CA∣⋅∣CB∣CA⋅CB
Arvutame skalaarkorrutise, liites vastavate koordinaatide korrutised.
CA⋅CB=(−5)⋅(−1)+2⋅(−5)+5⋅1=5−10+5=0
Skalaarkorrutis on null, seega on murru lugeja null ja koosinus on null.
cos∠ACB=0⇒∠ACB=90∘
Kui kahe nullist erineva vektori skalaarkorrutis on null, on vektorid risti ja pikkusi pole vaja arvutada. Sama tulemuse annab Thalese teoreem: AB on kera diameeter ja C on kera pinnal, seega on C ka ringjoonel, mille diameeter on AB (kera lõige tasandiga ABC), ning diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk.
VASTUS
1) Kera keskpunkt on O(1;−0,5;2) ja kera ruumala on 121,5π≈381,7 kuupühikut. 2) Nurk ACB on 90∘.