GÜMNAASIUMTrigonomeetria

Trigonomeetrilised funktsioonid

Nurka mõõdetakse kraadides või radiaanides. Ühikringil on nurga koosinus punkti $x$ -koordinaat ja siinus $y$ -koordinaat. Siinus, koosinus ja tangens on perioodilised funktsioonid: nende väärtused hakkavad kindla vahemiku järel korduma.

Ühikringjoon

Siinus ja koosinus

Tangens

Tähised

$x$: argument (nurk radiaanides)
$\sin$ , $\cos$ , $\tan$: siinus, koosinus, tangens
$\pi$: $\pi \approx 3{,}14$ ( $\pi$ radiaani $= 180^\circ$ )
$n$: mis tahes täisarv ( $n = 0;\, \pm 1;\, \pm 2;\, \ldots$ )
$y$: funktsiooni väärtus
$a$: kordaja funktsiooni ees; $|a|$ on amplituud (suurim kõrvalekalle nullist)
$b$: argumendi kordaja (muudab perioodi)
$T$: periood (vahemiku pikkus, mille järel väärtused korduvad)
$^\circ$: kraad, $\frac{1}{360}$ täispöördest
rad: radiaan (nurk, mille kaare pikkus võrdub raadiusega)
$\alpha$: nurk, mida mõõdetakse $x$ -telje positiivsest suunast vastupäeva
$x_P$ , $y_P$: nurgale $\alpha$ vastava ühikringjoone punkti $P$ koordinaadid
I, II, III, IV: koordinaatveerandid, kuhu nurga $\alpha$ haar jääb

Kraadid ja radiaanid

180^\circ = \pi \text{ rad}

Kraadidest radiaanidesse: korruta arvuga $\frac{\pi}{180^\circ}$ .

Ühikring

\cos\alpha = x_P, \qquad \sin\alpha = y_P, \qquad \tan\alpha = \frac{y_P}{x_P}

Täpsed väärtused

\begin{array}{c|ccccc} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ \hline \sin\alpha & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\[4pt] \cos\alpha & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\[4pt] \tan\alpha & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & - \end{array}

Märgid veerandites

\begin{array}{c|cccc} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} \\ \hline \sin\alpha & + & + & - & - \\ \cos\alpha & + & - & - & + \\ \tan\alpha & + & - & + & - \end{array}

Periood

\sin(x + 2\pi) = \sin x, \qquad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \qquad \tan(x + \pi) = \tan x

Muutumispiirkond

-1 \leq \sin x \leq 1, \qquad -1 \leq \cos x \leq 1

Tangensi muutumispiirkond on kogu reaalarvude hulk.

Nullkohad

\sin x = 0 \;\Leftrightarrow\; x = n\pi, \qquad \cos x = 0 \;\Leftrightarrow\; x = \frac{\pi}{2} + n\pi

Venitatud siinus

y = a\sin(bx): \quad T = \frac{2\pi}{|b|}, \quad -|a| \leq y \leq |a|

Paaris ja paaritu

\cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x

Koosinus on paarisfunktsioon, siinus ja tangens on paaritud funktsioonid.

Harjutuspank

Harjuta seda teemat

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Alusta harjutamist

Levinud vead

$\tan 90^\circ$ ei ole määratud, sest $\cos 90^\circ = 0$ .
Kui nurk on antud radiaanides (nt $\frac{\pi}{6}$ ), peab ka taskuarvuti olema radiaanide režiimis.
Funktsiooni $y = \sin 2x$ periood on $\pi$ , mitte $4\pi$ : kordaja argumendi ees lühendab perioodi.