GÜMNAASIUMTrigonomeetria

Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetrilisel võrrandil on lõpmata palju lahendeid, sest funktsioonid on perioodilised. Kõigepealt leitakse üldlahend, seejärel valitakse sealt nõutud lõiku jäävad lahendid.

Võrrand sin x = m
Võrrand cos x = m ühikringil

Tähised

xx
tundmatu (nurk radiaanides)
mm
antud arv võrrandi paremal poolel
nn
mis tahes täisarv (n=0; ±1; ±2; …n = 0;\, \pm 1;\, \pm 2;\, \ldots)
arcsin⁡m\arcsin m
nurk lõigult [−π2; π2]\left[-\frac{\pi}{2};\, \frac{\pi}{2}\right], mille siinus on mm
arccos⁡m\arccos m
nurk lõigult [0; π][0;\, \pi], mille koosinus on mm
arctan⁡m\arctan m
nurk vahemikust (−π2; π2)\left(-\frac{\pi}{2};\, \frac{\pi}{2}\right), mille tangens on mm
π\pi
π≈3,14\pi \approx 3{,}14 (π\pi radiaani =180∘= 180^\circ)
∣m∣|m|
arvu mm absoluutväärtus

Siinusvõrrand

sin⁡x=m  ⇒  x=(−1)narcsin⁡m+nπ\sin x = m \;\Rightarrow\; x = (-1)^n \arcsin m + n\pi

Kehtib, kui ∣m∣≤1|m| \leq 1; nn on mis tahes täisarv.

Koosinusvõrrand

cos⁡x=m  ⇒  x=±arccos⁡m+2nπ\cos x = m \;\Rightarrow\; x = \pm\arccos m + 2n\pi

Kehtib, kui ∣m∣≤1|m| \leq 1; nn on mis tahes täisarv.

Tangensvõrrand

tan⁡x=m  ⇒  x=arctan⁡m+nπ\tan x = m \;\Rightarrow\; x = \arctan m + n\pi

Lahendeid pole

∣m∣>1  ⇒  sin⁡x=m ja cos⁡x=m lahendid puuduvad|m| > 1 \;\Rightarrow\; \sin x = m \text{ ja } \cos x = m \text{ lahendid puuduvad}

Harjutuspank

Harjuta seda teemat

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Alusta harjutamist

Lahendamise skeem

  1. 1Teisenda võrrand kujule, kus on üks trigonomeetriline funktsioon (tegurda või kasuta põhiseoseid).
  2. 2Kirjuta välja üldlahend.
  3. 3Anna täisarvule nn järjest väärtusi (00, 11, −1-1, …) ja vali lahendid, mis jäävad nõutud lõiku.
  4. 4Kontrolli, et ükski lõiku jääv lahend ei jäänud vahele.

Levinud vead

Selle teema ülesanded

  1. Ülesanne 4: Kitsas riigieksam 2016: Trigonomeetriline avaldis ja võrrand graafikultTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised võrrandidTrigonomeetrilised funktsioonid5 pTegemata
  2. Ülesanne 3: Kitsas riigieksam 2017: Trigonomeetrilise avaldise lihtsustamine ja punkt koosinuse graafikulTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid5 pTegemata
  3. Ülesanne 11: Kitsas riigieksam 2020: Ringi sektor ja tangensfunktsioonRing ja ringjoonTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid10 pTegemata
  4. Ülesanne 4: Kitsas riigieksam 2022: Trigonomeetriline avaldis ja koosinusfunktsioonTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid5 pTegemata
  5. Ülesanne 2: Kitsas riigieksam 2023: Funktsioon y = −2 sin x ja sirge y = −1Trigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandidFunktsiooni mõiste ja omadused5 pTegemata
  6. Ülesanne 2: Kitsas riigieksam 2024: Koosinusfunktsiooni graafik ja sirge y = 1Trigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid5 pTegemata
  7. Ülesanne 3: Lai riigieksam 2015: Trigonomeetrilise avaldise väärtusTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised võrrandid5 pTegemata
  8. Ülesanne 4: Lai riigieksam 2016: Siinusfunktsiooni graafik ja võrrandTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid5 pTegemata
  9. Ülesanne 6: Lai riigieksam 2018: Taandamisvalemid ja koosinusvõrratusTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised võrrandidTrigonomeetrilised funktsioonid10 pTegemata
  10. Ülesanne 10: Lai riigieksam 2019: Trigonomeetriline avaldis ja nullkohadTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised võrrandid10 pTegemata
  11. Ülesanne 4: Lai riigieksam 2020: Trigonomeetriline avaldis ja määramispiirkondTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid5 pTegemata
  12. Ülesanne 6: Lai riigieksam 2022: Trigonomeetriline avaldis, graafik ja võrrandTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid10 pTegemata
  13. Ülesanne 11: Lai riigieksam 2023: Trigonomeetriline võrdus ja koosinuse graafikTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid10 pTegemata
  14. Ülesanne 2: Lai riigieksam 2024: Trigonomeetriline võrrand lõigulTrigonomeetrilised võrrandidTrigonomeetrilised avaldised5 pTegemata
  15. Ülesanne 7: Lai riigieksam 2025: Trigonomeetriline avaldis, graafik ja võrrandTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised funktsioonidTrigonomeetrilised võrrandid10 pTegemata
  16. Ülesanne 8: Lai riigieksam 2026: Trigonomeetriline samasus ja võrrandTrigonomeetrilised avaldisedTrigonomeetrilised võrrandid10 pTegemata