Kitsas riigieksam 2024, ülesanne 2: Koosinusfunktsiooni graafik ja sirge y = 1
Joonisel on funktsiooni y=−cosx graafik lõigul [−270∘;270∘].
1.Leidke funktsiooni y=−cosx positiivsuspiirkond lõigul [−270∘;270∘].
2.Joonestage samas koordinaatteljestikus funktsiooni y=1 graafik ning lahendage võrrand −cosx=1 lõigul [−270∘;270∘].
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2024, ülesanne 2
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 46,2% punktidest (Harno aruanne).
Ülesande joonis
−270∘270∘−110xyy=−cosx
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Positiivsuspiirkonnas on graafik x-teljest kõrgemal. Võrrandi lahendid on sirge y=1 ja graafiku ühiste punktide x-koordinaadid.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia nullkohad
Esimeses küsimuses tuleb leida positiivsuspiirkond ehk kohad, kus funktsiooni väärtus on positiivne. Selle piirid on nullkohad, kus graafik lõikab x-telge.
Nullkohas on funktsiooni väärtus null.
−cosx=0
Korrutame mõlemaid pooli arvuga −1.
cosx=0
Lõigul [−270∘;270∘] on koosinus null neljas kohas (graafik lõikab seal x-telge).
x=−270∘,−90∘,90∘,270∘
−270∘270∘−110xyy=−cosx−90∘90∘
cos90∘=0 ja koosinus on null iga 180∘ järel: 90∘−180∘=−90∘, −90∘−180∘=−270∘ ja 90∘+180∘=270∘. Kõik need kohad on joonisel näha.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Loe graafikult positiivsuspiirkond
Funktsioon on positiivne seal, kus graafik on x-teljest kõrgemal.
Graafik on x-teljest kõrgemal nullkohtade −270∘ ja −90∘ vahel ning 90∘ ja 270∘ vahel.
X+=(−270∘;−90∘)∪(90∘;270∘)
−270∘270∘−110xyy=−cosx−90∘90∘
Nullkohtades endis on funktsiooni väärtus 0, mis ei ole positiivne, seega on vahemikud lahtised (ümarsulud). Vahemikus (−90∘;90∘) on cosx>0, seega −cosx<0 ja graafik on x-teljest allpool.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Joonesta sirge y = 1
Teises küsimuses tuleb joonestada funktsiooni y=1 graafik. Selle väärtus on iga x korral 1.
Koostame väärtuste tabeli.
xy−270∘1−90∘190∘1270∘1
Graafik on x-teljega paralleelne sirge, mis läbib y-telge punktis 1.
y=1
−270∘270∘−110xyy=−cosx−90∘90∘y=1
Joonestame sirge samale lõigule [−270∘;270∘], kus on antud ka koosinusfunktsiooni graafik.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Lahenda võrrand
Võrrandi −cosx=1 lahendid on nende punktide x-koordinaadid, kus graafik y=−cosx ja sirge y=1 kohtuvad. Jooniselt on näha kaks sellist punkti.
Korrutame võrrandi mõlemaid pooli arvuga −1.
cosx=−1
Lõigul [−270∘;270∘] on koosinus −1 kohtadel −180∘ ja 180∘.
x1=−180∘,x2=180∘
Kontrollime lahendit x2=180∘: arvutame vasaku poole.
vp=−cos180∘=−(−1)=1
Võrrandi parem pool on 1.
pp=1
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega lahend sobib.
vp=pp
−270∘270∘−110xyy=−cosx−90∘90∘y=1x1=−180∘x2=180∘
Koosinuse vähim väärtus on −1 ja seda saavutatakse kohal 180∘ ning iga 360∘ järel. Lõigule jääb veel 180∘−360∘=−180∘. Sama kontroll kehtib ka kohal −180∘, sest cos(−180∘)=−1.
VASTUS
1) Funktsiooni y=−cosx positiivsuspiirkond lõigul [−270∘;270∘] on X+=(−270∘;−90∘)∪(90∘;270∘). 2) Sirge y=1 on joonisel ja võrrandi −cosx=1 lahendid on x1=−180∘ ja x2=180∘.