Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Esimeses osas kasuta kahekordse nurga valemeid ja vii murrud ühisele nimetajale. Teises osas: murd ei ole määratud, kui selle nimetaja on null.
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Lihtsusta teine murd Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada. Alustame teisest murrust, mille lugejas on sin 2 α \sin 2\alpha sin 2 α
Kasutame kahekordse nurga siinuse valemit.
sin 2 α sin α = 2 sin α ⋅ cos α sin α \frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\id{ahel-1}{\frac{2\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha}}} sin α sin 2 α = sin α 2 sin α ⋅ cos α Taandame murdu teguriga sin α \sin\alpha sin α
2 sin α ⋅ cos α sin α = 2 cos α \id{ahel-1}{\frac{2\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{\id{tm}{2\cos\alpha}}} sin α 2 sin α ⋅ cos α = 2 cos α Miks nii? Algne murd on määratud ainult siis, kui sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α = 0 sin α \sin\alpha sin α 2 Küsimus 1 Samm 2: Vii ühisele nimetajale Kirjutame avaldise lihtsustatud teise liikmega.
cos 2 α cos α − 2 cos α \frac{\cos 2\alpha}{\cos\alpha} - \id{tm}{2\cos\alpha} cos α cos 2 α − 2 cos α Laiendame liiget 2 cos α 2\cos\alpha 2 cos α cos α \cos\alpha cos α
cos 2 α cos α − 2 cos 2 α cos α = cos 2 α − 2 cos 2 α cos α \frac{\cos 2\alpha}{\cos\alpha} - \frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \id{ahel-4}{\hl{\frac{\cos 2\alpha - 2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}}} cos α cos 2 α − cos α 2 cos 2 α = cos α cos 2 α − 2 cos 2 α Miks nii? 2 cos α = 2 cos α ⋅ cos α cos α = 2 cos 2 α cos α 2\cos\alpha = \frac{2\cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{\cos\alpha} 2 cos α = c o s α 2 c o s α ⋅ c o s α = c o s α 2 c o s 2 α 3 Küsimus 1 Samm 3: Lihtsusta lugeja Kasutame kahekordse nurga koosinuse valemit.
cos 2 α − 2 cos 2 α cos α = cos 2 α − sin 2 α − 2 cos 2 α cos α \id{ahel-4}{\frac{\cos 2\alpha - 2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\id{ahel-5}{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}}} cos α cos 2 α − 2 cos 2 α = cos α cos 2 α − sin 2 α − 2 cos 2 α Koondame lugejas liikmed cos 2 α \cos^2\alpha cos 2 α
cos 2 α − sin 2 α − 2 cos 2 α cos α = − cos 2 α − sin 2 α cos α = − ( sin 2 α + cos 2 α ) cos α \id{ahel-5}{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha}{\cos\alpha}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos\alpha}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\id{ahel-6}{\frac{-(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\cos\alpha}}} cos α cos 2 α − sin 2 α − 2 cos 2 α = cos α − cos 2 α − sin 2 α = cos α − ( sin 2 α + cos 2 α ) Põhiseose järgi sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1
− ( sin 2 α + cos 2 α ) cos α = − 1 cos α \id{ahel-6}{\frac{-(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\cos\alpha}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{-\frac{1}{\cos\alpha}}} cos α − ( sin 2 α + cos 2 α ) = − cos α 1 Miks nii? Kahekordse nurga koosinuse valem on cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − 2 cos 2 α = − cos 2 α \cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha = -\cos^2\alpha cos 2 α − 2 cos 2 α = − cos 2 α sin α ≠ 0 \sin\alpha \ne 0 sin α = 0 cos α ≠ 0 \cos\alpha \ne 0 cos α = 0 4 Küsimus 2 Samm 4: Kirjuta määramatuse tingimus Teises küsimuses on antud funktsioon f ( x ) = − 1 cos x f(x) = -\frac{1}{\cos x} f ( x ) = − c o s x 1
Funktsioon ei ole määratud, kui nimetaja on null.
Ühikringjoonel on koosinus punkti x x x ( 0 ; 1 ) (0;\,1) ( 0 ; 1 ) ( 0 ; − 1 ) (0;\,-1) ( 0 ; − 1 )
x = π 2 + π n , n ∈ Z \hl{x = \frac{\pi}{2} + \pi n}, \quad n \in \mathbb{Z} x = 2 π + π n , n ∈ Z Miks nii? Punkt ( 0 ; 1 ) (0;\,1) ( 0 ; 1 ) π 2 \frac{\pi}{2} 2 π ( 0 ; − 1 ) (0;\,-1) ( 0 ; − 1 ) π 2 + π = 3 π 2 \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} 2 π + π = 2 3 π π \pi π x = π 2 + π n x = \frac{\pi}{2} + \pi n x = 2 π + π n 5 Küsimus 2 Samm 5: Vali lahendid lõigult Lõik [ − π ; π ] [-\pi;\,\pi] [ − π ; π ] n n n
Kui n = 0 n = 0 n = 0 n = − 1 n = -1 n = − 1
π 2 + 0 = π 2 , π 2 − π = − π 2 \frac{\pi}{2} + 0 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{\pi}{2} - \pi} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-\frac{\pi}{2}} 2 π + 0 = 2 π , 2 π − π = − 2 π Kui n = 1 n = 1 n = 1 n = − 2 n = -2 n = − 2
π 2 + π = 3 π 2 > π , π 2 − 2 π = − 3 π 2 < − π \frac{\pi}{2} + \pi \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{3\pi}{2} > \pi, \qquad \frac{\pi}{2} - 2\pi} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-\frac{3\pi}{2} < -\pi} 2 π + π = 2 3 π > π , 2 π − 2 π = − 2 3 π < − π Lõigule kuulub kaks väärtust.
x 1 = − π 2 , x 2 = π 2 \hl{x_1 = -\frac{\pi}{2}, \quad x_2 = \frac{\pi}{2}} x 1 = − 2 π , x 2 = 2 π Miks nii? Teiste n n n x x x [ − π ; π ] [-\pi;\,\pi] [ − π ; π ] VASTUS 1) Lihtsustatud avaldis on − 1 cos α -\frac{1}{\cos\alpha} − c o s α 1 [ − π ; π ] [-\pi;\,\pi] [ − π ; π ] x = − π 2 x = -\frac{\pi}{2} x = − 2 π x = π 2 x = \frac{\pi}{2} x = 2 π
Murd cos 2 α cos α \frac{\cos 2\alpha}{\cos\alpha} c o s α c o s 2 α cos 2 \cos 2 cos 2 2 2 2 cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α
cos 2 α cos α = 2 \frac{\cos 2\alpha}{\cos\alpha} = 2 cos α cos 2 α = 2 koosinus taandatud
Teises osas antakse ainult üks väärtus π 2 \frac{\pi}{2} 2 π [ − π ; π ] [-\pi;\,\pi] [ − π ; π ] − π 2 -\frac{\pi}{2} − 2 π
Ülesanne 3 Ülesanne 5