Lai riigieksam 2020, ülesanne 3: Juhuslikult valitud vastused testis
Riina lahendas valikvastustega testi, milles oli kolm ülesannet. Igal ülesandel oli neli vastusevarianti, millest ainult üks oli õige. Riina valis kõikide ülesannete vastused juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et
1)kõik valitud vastused olid valed;
2)vähemalt kaks valitud vastustest olid õiged?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2020, ülesanne 3
Valemikaart: bernoulli valem
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−k,q=1−p
n katset,ko˜nnestumist,po˜nnestumise to˜ena¨osus
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Iga ülesande vastus valitakse teistest sõltumatult. Ühe ülesande õige vastuse tõenäosus on 41. „Vähemalt kaks“ tähendab „täpselt kaks või täpselt kolm“.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia ühe vastuse tõenäosused
Igal ülesandel on neli võrdvõimalikku vastust ja neist üks on õige.
Õige vastuse tõenäosus on üks soodne võimalus neljast.
p=41
Vale vastuse tõenäosus on vastandsündmuse tõenäosus.
q=1−41=43
Valesid variante on igal ülesandel kolm, seega vale vastuse tõenäosus on ka otse 43. Iga ülesande vastus valitakse eraldi, seega on kolm valikut sõltumatud.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta tõenäosus, et kõik vastused on valed
Esimeses küsimuses peavad kõik kolm vastust olema valed.
Sõltumatute sündmuste korral korrutame tõenäosused.
P1=43⋅43⋅43=(43)3=6427
Sama tulemuse annab Bernoulli valem, kui n=3 ja õnnestumisi on k=0: P3(0)=C30⋅(41)0⋅(43)3=6427. Klassikaliselt: kõiki vastuste kombinatsioone on 43=64 ja ainult valedest koosnevaid 33=27.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta tõenäosus, et õigeid on täpselt kaks
Teises küsimuses on õigeid vastuseid vähemalt kaks, see tähendab kas täpselt kaks või täpselt kolm. Arvutame mõlemad.
Kirjutame Bernoulli valemi.
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−k
Asendame n=3, k=2, p=41 ja q=43.
P3(2)=C32⋅(41)2⋅43=3⋅161⋅43=649
C32=3 näitab, mitmel viisil saab valida kaks õigesti vastatud ülesannet kolmest: õige võib olla 1. ja 2., 1. ja 3. või 2. ja 3. ülesanne. Iga sellise võimaluse tõenäosus on 41⋅41⋅43.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Arvuta tõenäosus, et kõik vastused on õiged
Kõik kolm vastust on õiged.
P3(3)=(41)3=641
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Liida tõenäosused
Sündmused „täpselt kaks õiget“ ja „kolm õiget“ on välistavad, seega liidame tõenäosused.
P2=649+641=6410=325
Taandame murru kahega: 6410=325≈0,16.
VASTUS
1) Tõenäosus, et kõik valitud vastused olid valed, on 6427≈0,42. 2) Tõenäosus, et vähemalt kaks valitud vastust olid õiged, on 325≈0,16.