Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2024, ülesanne 2
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 50,5% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
xy
Valemikaart: kahekordse nurga valemid
sin2α=2sinα⋅cosα
cos2α=cos2α−sin2α
tan2α=1−tan2α2tanα
Valemikaart: trigonomeetria põhiseosed
sin2α+cos2α=1
tanα=cosαsinα
sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kasuta kahekordse nurga koosinuse valemit ja põhiseost sin2x+cos2x=1. Pärast seda koonduvad ruutliikmed ära.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Avalda cos2x koosinuse kaudu
Võrrandis on nurgad 2x ja x. Et saaksime kõik avaldada ühe funktsiooni cosx kaudu, teisendame kõigepealt cos2x.
Kirjutame välja kahekordse nurga koosinuse valemi.
cos2x=cos2x−sin2x
Põhiseosest sin2x+cos2x=1 saame sin2x=1−cos2x ja asendame selle.
cos2x−sin2x=cos2x−(1−cos2x)=2cos2x−1
Valemilehel on cos2α=cos2α−sin2α. Siinuse ruudu asendame põhiseosest, siis jääb avaldisse ainult cosx. Sama tulemuse annab ka valem cos2x=2cos2x−1.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Lihtsusta võrrand
Asendame võrrandisse cos2x=2cos2x−1.
2cos2x−1−2cosx=2cos2x
Lahutame mõlemast poolest 2cos2x. Ruutliikmed koonduvad ära.
−1−2cosx=0
Viime arvu −1 paremale poole ja jagame mõlemaid pooli arvuga −2.
cosx=−21
Mõlemal pool on liige 2cos2x, seega need taanduvad. Alles jääb lihtne trigonomeetriline võrrand.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Kirjuta üldlahend
Koosinusvõrrandi cosx=a lahendid on x=±arccosa+2πn.
x=±arccos(−21)+2πn,n∈Z
Nurk, mille koosinus on −21, on π−3π.
arccos(−21)=π−3π=32π
Kirjutame üldlahendi.
x=±32π+2πn,n∈Z
xy−2132π−32π0−π
Ühikringjoonel on koosinus punkti x-koordinaat. Sirge x=−21 lõikab ringjoont kahes punktis: nurga 32π ja nurga −32π kohal. Täispööre 2π viib sama punkti juurde tagasi.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Vali lahendid lõigult
Lõigule [−π;0] vastab ühikringjoonel alumine poolringjoon. Proovime üldlahendisse erinevaid n väärtusi.
Plussmärgiga lahendid, kui n=0 ja n=−1.
32π>0,32π−2π=−34π<−π
Miinusmärgiga lahend, kui n=0.
−π≤−32π≤0
Lõigule kuulub ainult üks lahend.
x=−32π
xy−21−32π0−π
Teised n väärtused viivad veel kaugemale: näiteks −32π+2π=34π on suurem kui 0. Joonisel on näha, et alumisel poolringjoonel on sirgega x=−21 ainult üks ühine punkt.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Kontrolli lahendit
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=−32π. Siis 2x=−34π.
vp=cos(−34π)−2cos(−32π)=−21−2⋅(−21)=21
Arvutame parema poole.
pp=2⋅(−21)2=2⋅41=21
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega lahend sobib.
vp=pp
Koosinus on paarisfunktsioon, seega cos(−34π)=cos34π=−21.