Kitsas riigieksam 2023, ülesanne 2: Funktsioon y = −2 sin x ja sirge y = −1
Joonisel on funktsiooni f(x)=−2sinx graafik lõigul [−180∘;360∘].
1.Leidke funktsiooni f(x) positiivsuspiirkond, kui x∈[−180∘;360∘].
2.Täiendage joonist sirgega y=−1.
3.Lahendage võrrand −2sinx=−1, kui x∈[−180∘;360∘].
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2023, ülesanne 2
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 46,3% punktidest (Harno aruanne).
Ülesande joonis
−180∘180∘360∘−2−1120xyf(x)=−2sinx
Valemikaart: taandamisvalemid
sin(90∘−α)=cosα,cos(90∘−α)=sinα
sin(90∘+α)=cosα,cos(90∘+α)=−sinα
sin(180∘−α)=sinα,cos(180∘−α)=−cosα
sin(180∘+α)=−sinα,cos(180∘+α)=−cosα
tan(180∘−α)=−tanα,tan(180∘+α)=tanα
sin(α+n⋅360∘)=sinα,cos(α+n⋅360∘)=cosα,n∈Z
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Positiivsuspiirkonnas on graafik x-teljest kõrgemal. Võrrandi lahendid on graafiku ja sirge y=−1 lõikepunktide x-koordinaadid.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia nullkohad
Esimeses küsimuses tuleb leida positiivsuspiirkond ehk need x väärtused, mille korral f(x)>0. Selle piirid on nullkohad, kus graafik lõikab x-telge.
Võrdsustame funktsiooni nulliga.
−2sinx=0
Jagame mõlemaid pooli arvuga −2.
sinx=0
Lõigul [−180∘;360∘] on siinus null nendel nurkadel.
x=−180∘,0∘,180∘,360∘
−180∘180∘360∘−2−1120xyf(x)=−2sinx
Siinus on null nurkadel, mis on 180∘ kordsed. Ka jooniselt on näha, et graafik lõikab x-telge kohtadel −180∘, 0∘, 180∘ ja 360∘.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Loe graafikult positiivsuspiirkond
Funktsioon on positiivne seal, kus graafik on x-teljest kõrgemal.
Graafik on x-teljest kõrgemal nullkohtade −180∘ ja 0∘ vahel ning nullkohtade 180∘ ja 360∘ vahel.
X+=(−180∘;0∘)∪(180∘;360∘)
−180∘180∘360∘−2−1120xyf(x)=−2sinxf(x)>0f(x)>0
f(x)=−2sinx on positiivne siis, kui sinx on negatiivne. Siinus on negatiivne III ja IV veerandi nurkadel, lõigul [−180∘;360∘] seega vahemikes (−180∘;0∘) ja (180∘;360∘). Nullkohad ise ei kuulu positiivsuspiirkonda, sest seal on f(x)=0.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Joonesta sirge y = −1
Teises küsimuses tuleb joonestada sirge y=−1. Koostame väärtuste tabeli.
Iga x korral on y=−1.
xy−180∘−10∘−1180∘−1360∘−1
Sirge on x-teljega paralleelne ja läbib y-telge punktis −1.
y=−1
−180∘180∘360∘−2−1120xyf(x)=−2sinxy=−1
Joonisel vastab y-teljel arvule 1 kaks ruutu, seega on sirge y=−1 kaks ruutu allpool x-telge.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Avalda sin x
Kolmandas küsimuses tuleb lahendada võrrand −2sinx=−1.
Kirjutame võrrandi.
−2sinx=−1
Jagame mõlemaid pooli arvuga −2.
sinx=−2−1=21
Negatiivsete arvude jagatis on positiivne. Võrrand −2sinx=−1 tähendab sama, mis graafiku y=−2sinx ja sirge y=−1 lõikepunktide otsimine.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia nurgad lõigul
Otsime lõigult [−180∘;360∘] nurgad, mille siinus on 21. Siinus on positiivne ainult I ja II veerandi nurkadel, sellel lõigul vahemikus (0∘;180∘).
Teravnurk, mille siinus on 21, on 30∘.
x1=30∘
Taandamisvalemi järgi on sin(180∘−α)=sinα, seega sobib ka II veerandi nurk.
x2=180∘−30∘=150∘
−180∘180∘360∘−2−1120xyf(x)=−2sinxy=−130∘150∘
sin30∘=21 on tuntud väärtus (taskuarvutil sin−10,5=30∘). Teisi lahendeid lõigul ei ole: vahemikes (−180∘;0∘) ja (180∘;360∘) on siinus negatiivne. Jooniselt on näha sama: sirge y=−1 lõikab graafikut täpselt kahes punktis, kohtadel 30∘ ja 150∘.
VASTUS
1) Funktsiooni f(x) positiivsuspiirkond on (−180∘;0∘)∪(180∘;360∘). 2) Sirge y=−1 on joonisel. 3) Võrrandi −2sinx=−1 lahendid lõigul [−180∘;360∘] on x1=30∘ ja x2=150∘.