Kitsas riigieksam 2026, ülesanne 4: Siinusfunktsiooni graafik ja sirge y = 1
Joonisel on funktsiooni y=−sinx graafik lõigul [0∘;360∘].
1.Leidke sellel lõigul funktsiooni y=−sinx kasvamisvahemik ja funktsiooni miinimum.
2.Joonestage samas koordinaatteljestikus funktsiooni y=cos2x+sin2x graafik ja leidke nende kahe graafiku ühise punkti koordinaadid.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2026, ülesanne 4
Ülesande joonis
180∘360∘−110xyy=−sinx
Valemikaart: trigonomeetria põhiseosed
sin2α+cos2α=1
tanα=cosαsinα
sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kasvamisvahemikus tõuseb graafik vasakult paremale. Teise funktsiooni avaldis lihtsustub trigonomeetria põhiseose abil.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Loe graafikult kasvamisvahemik
Esimeses küsimuses tuleb leida kasvamisvahemik. Funktsioon kasvab seal, kus graafik tõuseb vasakult paremale liikudes.
Graafik langeb kuni kohani 90∘, tõuseb kohast 90∘ kohani 270∘ ja langeb siis uuesti.
X↑=(90∘;270∘)
180∘360∘−110xy90∘270∘y=−sinx
Funktsioon y=−sinx kasvab seal, kus sinx kahaneb. Siinus kahaneb lõigul [0∘;360∘] kohast 90∘ (väärtus 1) kohani 270∘ (väärtus −1), seega −sinx kasvab samas vahemikus väärtusest −1 väärtuseni 1.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia miinimum
Miinimum on graafiku madalaim punkt. See on kohal, kus kahanemine läheb üle kasvamiseks.
Arvutame funktsiooni väärtuse kohal x=90∘.
ymin=−sin90∘=−1⋅1=−1
180∘360∘−110xy90∘270∘y=−sinxymin=−1
Siinuse suurim väärtus on 1, seega on −sinx vähim väärtus −1. Seda saavutatakse kohal x=90∘.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Lihtsusta teise funktsiooni avaldis
Teises küsimuses on vaja joonestada funktsiooni y=cos2x+sin2x graafik. Kõigepealt lihtsustame avaldise.
Trigonomeetria põhiseose järgi on siinuse ja koosinuse ruutude summa 1.
y=cos2x+sin2x=1
Põhiseos sin2α+cos2α=1 kehtib iga nurga korral, seega on funktsiooni väärtus kõikjal 1. Graafik on x-teljega paralleelne sirge.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Joonesta graafik
Koostame väärtuste tabeli. Iga x korral on y=1.
xy0∘190∘1180∘1270∘1360∘1
Graafik on sirge, mis läbib y-telge punktis 1 ja on paralleelne x-teljega.
y=1
180∘360∘−110xy90∘270∘y=−sinxy=1
Joonestame sirge samale lõigule [0∘;360∘], kus on antud ka esimene graafik.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia ühine punkt
Ühises punktis on mõlema funktsiooni väärtus sama. Jooniselt on näha, et sirge puudutab siinusjoont tema kõrgeimas punktis.
Võrdsustame funktsioonide avaldised.
−sinx=1
Korrutame mõlemaid pooli arvuga −1.
sinx=−1
Lõigul [0∘;360∘] on siinus −1 ainult kohal 270∘.
x=270∘
Kirjutame ühise punkti koordinaadid.
L(270∘;1)
180∘360∘−110xy90∘270∘y=−sinxy=1L(270∘;1)
Funktsiooni y=−sinx suurim väärtus on 1, seega saavad graafikud kohtuda ainult maksimumpunktis. Kontroll: −sin270∘=−(−1)=1.
VASTUS
1) Funktsioon y=−sinx kasvab lõigul [0∘;360∘] vahemikus (90∘;270∘) ja selle miinimum on −1 (kohal x=90∘). 2) Funktsiooni y=cos2x+sin2x graafik on sirge y=1 ja graafikute ühine punkt on L(270∘;1).