Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Negatiivsuspiirkonnas on graafik x-teljest allpool. Punkti kontrollimiseks arvuta f(3π) ja võrdle seda punkti teise koordinaadiga.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia nullkohad
Esimeses küsimuses tuleb leida negatiivsuspiirkond ehk kohad, kus funktsiooni väärtus on negatiivne. Selle piirid on nullkohad, kus graafik lõikab x-telge.
Nullkohas on funktsiooni väärtus null.
2cosx=0
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2.
cosx=0
Lõigul [−2π;2π] on koosinus null kolmes kohas (graafik lõikab seal x-telge).
x=−2π,2π,23π
−2π2ππ23π2π−2−1120xyf(x)
cos2π=0 ja koosinus on null iga π järel: 2π−π=−2π ja 2π+π=23π. Järgmine nullkoht 25π on juba lõigust väljas.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Loe graafikult negatiivsuspiirkond
Funktsioon on negatiivne seal, kus graafik on x-teljest allpool.
Graafik on x-teljest allpool nullkohtade 2π ja 23π vahel.
X−=(2π;23π)
−2π2ππ23π2π−2−1120xyf(x)
Nullkohtades endis on funktsiooni väärtus 0, mis ei ole negatiivne, seega on vahemik lahtine (ümarsulud). Lõigu ülejäänud osas (−2π kuni 2π ja 23π kuni 2π) on graafik x-teljel või sellest kõrgemal.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Leia miinimumpunkt
Miinimumpunkt on graafiku madalaim punkt. Koosinuse vähim väärtus on −1 ja lõigul saavutatakse see kohal x=π.
Arvutame funktsiooni väärtuse kohal x=π.
f(π)=2cosπ=2⋅(−1)=−2
Kirjutame miinimumpunkti koordinaadid.
(π;−2)
−2π2ππ23π2π−2−1120xyf(x)(π;−2)
Kuna −1≤cosx≤1, siis −2≤2cosx≤2. Väärtus −2 on seega vähim võimalik ja see on graafikul kohal π ka näha.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Kontrolli punkti A
Teises küsimuses tuleb otsustada, kas punkt A asub graafikul. Punkt asub graafikul, kui funktsiooni väärtus punkti esimesel koordinaadil võrdub punkti teise koordinaadiga.
Arvutame funktsiooni väärtuse kohal x=3π.
f(3π)=2cos3π=2⋅21=1
Punkti A teine koordinaat on −1, aga funktsiooni väärtus on 1.
1=−1
Seega punkt A ei asu graafikul.
A∈/graafikul
−2π2ππ23π2π−2−1120xyf(x)(π;−2)(3π;1)A(3π;−1)
3π=60∘ ja cos60∘=21. Graafiku punkt kohal 3π on (3π;1), punkt A on sellest kahe ühiku võrra allpool. Jooniselt on näha ka, et vahemikus (−2π;2π) on graafik x-teljest kõrgemal, punkt A aga allpool.
VASTUS
1) Funktsiooni f(x) negatiivsuspiirkond lõigul [−2π;2π] on (2π;23π) ja graafiku miinimumpunkt on (π;−2). 2) Punkt A(3π;−1) ei asu funktsiooni graafikul, sest f(3π)=1=−1.