Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Kirjuta lugejas arv 1 1 1 sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Samm 1: Asenda lugejas arv 1 Lugeja tuleb viia kujule, mida saab tegurdada. Selleks kasutame põhiseost sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1
Asendame arvu 1 1 1 sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α
2 sin 2 α − 1 = 2 sin 2 α − ( sin 2 α + cos 2 α ) 2\sin^2\alpha - 1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{2\sin^2\alpha - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)} 2 sin 2 α − 1 = 2 sin 2 α − ( sin 2 α + cos 2 α ) Avame sulud ja koondame siinuse ruudud.
2 sin 2 α − sin 2 α − cos 2 α = sin 2 α − cos 2 α 2\sin^2\alpha - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = \id{ahel-2}{\hl{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}} 2 sin 2 α − sin 2 α − cos 2 α = sin 2 α − cos 2 α Miks nii? Põhiseos kehtib iga nurga korral, seega võib arvu 1 1 1 sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α
sin 2 α − cos 2 α = ( sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) \id{ahel-2}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}} sin 2 α − cos 2 α = ( sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) Miks nii? Ruutude vahe valem on a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a = sin α a = \sin\alpha a = sin α b = cos α b = \cos\alpha b = cos α Kirjutame murru tegurdatud lugejaga.
2 sin 2 α − 1 sin α − cos α = ( sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) sin α − cos α \frac{2\sin^2\alpha - 1}{\sin\alpha - \cos\alpha} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha - \cos\alpha}} sin α − cos α 2 sin 2 α − 1 = sin α − cos α ( sin α − cos α ) ( sin α + cos α ) Taandame murru teguriga sin α − cos α \sin\alpha - \cos\alpha sin α − cos α
sin α + cos α \hl{\sin\alpha + \cos\alpha} sin α + cos α Miks nii? Lugejas ja nimetajas on sama tegur sin α − cos α \sin\alpha - \cos\alpha sin α − cos α sin α ≠ cos α \sin\alpha \ne \cos\alpha sin α = cos α Nurk π 6 \frac{\pi}{6} 6 π 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
Kirjutame nurga siinuse ja koosinuse.
sin π 6 = 1 2 , cos π 6 = 3 2 \sin\frac{\pi}{6} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{6}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} sin 6 π = 2 1 , cos 6 π = 2 3 Asendame need lihtsustatud avaldisse ja liidame murrud.
sin π 6 + cos π 6 = 1 2 + 3 2 = 1 + 3 2 \sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}} sin 6 π + cos 6 π = 2 1 + 2 3 = 2 1 + 3 Miks nii? π \pi π 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ π 6 = 180 ∘ 6 = 30 ∘ \frac{\pi}{6} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ 6 π = 6 18 0 ∘ = 3 0 ∘ 1,366 1{,}366 1 , 366 VASTUS Lihtsustatud avaldis on sin α + cos α \sin\alpha + \cos\alpha sin α + cos α α = π 6 \alpha = \frac{\pi}{6} α = 6 π 1 + 3 2 \frac{1 + \sqrt{3}}{2} 2 1 + 3
Lugejas ja nimetajas „taandatakse“ liikmeid, mitte tegureid, näiteks kriipsutatakse läbi sin α \sin\alpha sin α
2 sin 2 α − 1 sin α − cos α = 2 sin α − 1 − cos α \frac{2\sin^2\alpha - 1}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha - 1}{-\cos\alpha} sin α − cos α 2 sin 2 α − 1 = − cos α 2 sin α − 1 liikme taandamine
Taskuarvuti on kraadirežiimis ja π 6 ≈ 0,52 \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52 6 π ≈ 0 , 52 π 6 = 30 ∘ \frac{\pi}{6} = 30^\circ 6 π = 3 0 ∘
sin 0,52 ∘ + cos 0,52 ∘ ≈ 1,009 \sin 0{,}52^\circ + \cos 0{,}52^\circ \approx 1{,}009 sin 0 , 5 2 ∘ + cos 0 , 5 2 ∘ ≈ 1 , 009 kraadid ja radiaanid
Ülesanne 1 Ülesanne 3