Kitsas riigieksam 2021, ülesanne 1: Kinopiletid ümbrikutes
Klass, kus õpib 32 õpilast, osales koolidevahelisel statistikavõistlusel ja võitis hea esinemise eest auhinnaks 24 kinopiletit. Kinopileti saajad otsustati valida juhuslikult. Selleks võeti 32 ühesugust ümbrikku, neist 24 sisse pandi pilet ja 8 ümbrikku jäeti tühjaks. Kõik ümbrikud suleti ja õpilased valisid üksteise järel nende seast ümbriku.
1.Kui suur osa selle klassi õpilastest jäi kinopiletist ilma?
2.Kui suur on tõenäosus, et esimesena ümbriku võtnud õpilane sai kinopileti?
3.Kui suur on tõenäosus, et nii esimesena kui ka teisena ümbriku võtnud õpilane sai kinopileti?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2021, ülesanne 1
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Iga õpilane saab ühe ümbriku, seega jääb piletita nii mitu õpilast, kui on tühje ümbrikke. Kolmandas küsimuses mõtle, mitu ümbrikku ja mitu piletit on alles, kui teine õpilane oma ümbriku võtab.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia, kui suur osa jäi piletita
Esimeses küsimuses tuleb leida, kui suur osa klassist jäi kinopiletist ilma. Iga õpilane võtab ühe ümbriku, seega jääb piletita nii mitu õpilast, kui on tühje ümbrikke.
Piletita õpilasi on sama palju kui tühje ümbrikke.
32−24=8
Jagame piletita õpilaste arvu kõigi õpilaste arvuga ja taandame murru arvuga 8.
328=41
Osa leitakse nii, et osa (piletita õpilased) jagatakse tervikuga (kõik õpilased). 41 tähendab, et piletita jäi iga neljas õpilane ehk 25% klassist.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Arvuta esimese õpilase tõenäosus
Teises küsimuses võtab esimene õpilane ühe ümbriku 32 ümbriku hulgast. Kõik ümbrikud on ühesugused, seega on kõik valikud võrdvõimalikud.
Kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi.
P=nk
Soodsaid võimalusi on 24 (piletiga ümbrikud) ja kõiki võimalusi 32. Taandame murru arvuga 8.
P(A)=3224=43
Sündmus A on „esimene õpilane saab pileti“. Soodne on iga piletiga ümbrik, neid on 24. Kõiki ümbrikke on 32. 43=0,75.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 3Samm 3: Leia teise õpilase tõenäosus
Kolmandas küsimuses peavad pileti saama nii esimene kui ka teine õpilane. Kui esimene õpilane sai pileti, siis on teise õpilase ees alles 31 ümbrikku ja neist 23 on piletiga.
Teise õpilase tõenäosus, kui esimene juba võttis piletiga ümbriku.
P(B)=3123
Esimene õpilane ei pane oma ümbrikku tagasi. Seega on teise õpilase valiku ajal nii ümbrikke kui ka pileteid ühe võrra vähem: 32−1=31 ja 24−1=23.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Korruta tõenäosused
Mõlemad sündmused peavad toimuma, seega korrutame tõenäosused.
Kirjutame sündmuste korrutise tõenäosuse.
P=3224⋅3123
Taandame esimese murru (3224=43) ja korrutame lugejad ning nimetajad.
P=43⋅3123=12469≈0,556
Kui teine sündmus sõltub esimesest, korrutatakse esimese sündmuse tõenäosus teise sündmuse tõenäosusega eeldusel, et esimene on toimunud. Sama tulemuse saab kombinatsioonidega: kahe ümbriku valikuid on C322=232⋅31=496 ja soodsaid C242=224⋅23=276, seega P=496276=12469.
VASTUS
1) Kinopiletist jäi ilma 41 ehk 25% klassi õpilastest. 2) Tõenäosus, et esimene õpilane sai kinopileti, on 43. 3) Tõenäosus, et nii esimene kui ka teine õpilane sai kinopileti, on 12469≈0,556.