Põhikooli lõpueksam 2025, ülesanne 3: Võrdhaarse kolmnurga kõrgused ja pindala
Võrdhaarse kolmnurga alus on 12 cm ja haar 10 cm.
1.Täienda joonist alusele tõmmatud kõrgusega ja arvuta selle kõrguse pikkus.
2.Arvuta kolmnurga pindala.
3.Täienda joonist haarale tõmmatud kõrgusega ja arvuta selle kõrguse pikkus.
4.Mitme protsendi võrra on kolmnurga alus pikem haarast?
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2025, ülesanne 3
Ülesande joonis
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Võrdhaarse kolmnurga alusele tõmmatud kõrgus poolitab aluse. Nii tekib täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on haar. Haarale tõmmatud kõrguse saad pindala kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Joonesta alusele tõmmatud kõrgus
Esimeses küsimuses tuleb joonisele lisada alusele tõmmatud kõrgus ja arvutada selle pikkus. Tähistame kolmnurga tipud A, B ja C nii, et AB on alus. Kõrgus CD on tipust C alusega risti tõmmatud lõik.
Võrdhaarse kolmnurga alusele tõmmatud kõrgus poolitab aluse. Seega on punkt D aluse keskpunkt.
AD=DB=12:2=6 (cm)
h6 cm6 cm10 cm10 cmABCD
Võrdhaarne kolmnurk on sümmeetriline alusele tõmmatud kõrguse suhtes. Seepärast jaotab kõrgus aluse kaheks võrdseks osaks.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Kirjuta Pythagorase teoreem kolmnurgas ADC
Kõrgus CD on alusega risti, seega on kolmnurk ADC täisnurkne (täisnurk on tipus D). Selle kaatetid on AD=6 cm ja CD=h, hüpotenuus on haar AC=10 cm.
Kirjutame Pythagorase teoreemi: kaatetite ruutude summa on hüpotenuusi ruut.
AD2+CD2=AC2
Asendame AD=6 cm, CD=h ja AC=10 cm.
62+h2=102
h6 cm6 cm10 cm10 cmABCD
Hüpotenuus on täisnurga vastas olev külg, siin haar AC. Kõrgus on kaatet, seega peab see tulema haarast lühem.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta kõrgus
Arvutame ruudud.
36+h2=100
Viime arvu 36 paremale poole, kus selle märk muutub.
h2=100−36=64
Võtame ruutjuure. Pikkus on positiivne, seega arvestame ainult positiivset juurt.
h=64=8 (cm)
8 cm6 cm6 cm10 cm10 cmABCD
Et 82=64, siis 64=8. Kontroll: kõrgus 8 cm on lühem kui haar 10 cm, nagu kaatet peab olema.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Arvuta pindala
Teises küsimuses tuleb arvutada kolmnurga pindala. Aluseks võtame AB=12 cm. Sellele tõmmatud kõrgus on esimeses küsimuses leitud h=8 cm.
Kirjutame kolmnurga pindala valemi: pool aluse ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisest.
S=2a⋅h
Asendame aluse a=12 cm ja kõrguse h=8 cm.
S=212⋅8=296=48(cm2)
8 cm12 cm10 cm10 cmS=48 cm2ABCD
Pindala ühik on ruutsentimeeter, sest korrutame kaks pikkust sentimeetrites.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Joonesta haarale tõmmatud kõrgus
Kolmandas küsimuses tuleb joonisele lisada haarale tõmmatud kõrgus. Tõmbame tipust A haarale BC risti lõigu AE=h1. Selle pikkuse leiame pindala kaudu: sama kolmnurga pindala saab arvutada ka siis, kui aluseks võtta haar BC.
Kirjutame pindala valemi, kus aluseks on haar BC ja kõrguseks sellele tõmmatud h1.
S=2BC⋅h1
Asendame pindala S=48 cm2 ja haara BC=10 cm.
48=210⋅h1
8 cm12 cm10 cm10 cmS=48 cm2h1ABCDE
Pindala ei sõltu sellest, millise külje aluseks võtame. Pindala 48 cm2 on juba teada, seega saame võrrandi, kus ainus tundmatu on h1.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Arvuta haarale tõmmatud kõrgus
Lihtsustame paremat poolt: 10:2=5.
48=5⋅h1
Vahetame võrrandi pooled. Et h1 jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 5.
5⋅h1=48:5
Jagamise järel saame kõrguse.
h1=48:5=9,6 (cm)
8 cm12 cm10 cm10 cmS=48 cm29,6 cmABCDE
Haarale tõmmatud kõrgus 9,6 cm on pikem kui alusele tõmmatud kõrgus 8 cm. Nii peabki olema: pindala on sama, aga haar (10 cm) on lühem kui alus (12 cm), seega peab vastav kõrgus olema pikem.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 4Samm 7: Leia, mitme protsendi võrra on alus haarast pikem
Neljandas küsimuses tuleb võrrelda alust haaraga. Küsitakse, mitme protsendi võrra on alus pikem haarast, seega võrdleme haaraga: haar 10 cm on tervik ehk 100%.
Leiame, mitme sentimeetri võrra on alus haarast pikem.
12−10=2 (cm)
Leiame, mitu protsenti see vahe moodustab haarast: jagame vahe haara pikkusega ja korrutame 100%-ga.
102⋅100%=0,2⋅100%=20%
Sama tulemuse saab ka nii: alus moodustab haarast 1012⋅100%=120%, seega on see 120%−100%=20% võrra pikem.
VASTUS
1) Alusele tõmmatud kõrgus on 8 cm. 2) Kolmnurga pindala on 48 cm2. 3) Haarale tõmmatud kõrgus on 9,6 cm. 4) Kolmnurga alus on haarast 20% võrra pikem.