Põhikooli lõpueksam 2019, ülesanne 5: Kolmnurkne maatükk plaanil
Plaanil mõõtkavaga 1 : 5000 on täisnurkse kolmnurga kujulise maatüki lühemate külgede pikkused 4,5 cm ja 6 cm.
1.Arvuta maatüki kolmanda külje pikkus plaanil.
2.Tee plaani joonis.
3.Arvuta maatüki ümbermõõt ja pindala tegelikkuses.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2019, ülesanne 5
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Lühemad küljed on täisnurkse kolmnurga kaatetid, kolmas külg on hüpotenuus. Mõõtkava 1 : 5000 tähendab, et 1 cm plaanil vastab 5000 sentimeetrile ehk 50 meetrile looduses.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia kolmas külg Pythagorase teoreemiga
Esimeses küsimuses tuleb leida kolmanda külje pikkus plaanil. Täisnurkse kolmnurga lühemad küljed on kaatetid ja kõige pikem külg on hüpotenuus c.
Kirjutame Pythagorase teoreemi: hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga.
c2=a2+b2
Asendame kaatetid a=4,5 cm ja b=6 cm ning arvutame ruudud.
c2=4,52+62=20,25+36=56,25
Võtame ruutjuure.
c=56,25=7,5 (cm)
6 cm4,5 cmc
Hüpotenuus on täisnurga vastas ja alati pikem kui kumbki kaatet. Et ülesandes on antud lühemad küljed, on need kaatetid ja otsitav külg on hüpotenuus. Kontroll: 7,52=56,25.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Tee plaani joonis
Teises küsimuses tuleb teha plaani joonis. Joonesta täisnurk. Märgi selle ühele haarale 6 cm ja teisele 4,5 cm pikkune lõik ning ühenda lõikude otspunktid. Kanna joonisele külgede pikkused.
6 cm4,5 cm7,5 cm
Plaan joonestatakse tegelikes mõõtudes, st kaatetid on joonlauaga mõõtes 6 cm ja 4,5 cm. Kui joonis on täpne, on kolmanda külje pikkus mõõtes 7,5 cm; nii saab esimese küsimuse arvutust kontrollida.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 3Samm 3: Leia külgede tegelikud pikkused
Kolmandas küsimuses tuleb leida maatüki ümbermõõt ja pindala tegelikkuses. Selleks leiame kõigepealt külgede tegelikud pikkused. Mõõtkava 1:5000 tähendab, et 1 cm plaanil vastab looduses 5000 sentimeetrile.
Teisendame 5000 cm meetriteks: ühes meetris on 100 cm, seega jagame sajaga.
5000 cm=5000:100 m=50 m
Iga plaanil mõõdetud sentimeeter on looduses 50 m. Korrutame esimese kaateti pikkuse 50-ga.
4,5⋅50=225 (m)
Korrutame teise kaateti pikkuse 50-ga.
6⋅50=300 (m)
Korrutame hüpotenuusi pikkuse 50-ga.
7,5⋅50=375 (m)
300 m225 m375 m
Mugavam on kohe meetritesse üle minna, sest sentimeetrites tuleksid arvud väga suured.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Arvuta tegelik ümbermõõt
Kolmnurga ümbermõõt on kõigi kolme külje summa.
P=a+b+c
Asendame tegelikud küljepikkused.
P=225+300+375=900 (m)
300 m225 m375 mP=900 m
Sama saab plaani ümbermõõdust: (4,5+6+7,5)⋅50=18⋅50=900 m.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Arvuta tegelik pindala
Täisnurkse kolmnurga pindala on pool kaatetite korrutisest.
S=2a⋅b
Asendame tegelikud kaatetid 225 m ja 300 m.
S=2225⋅300=267500=33750(m2)
300 m225 m375 mP=900 mS=33750 m2
Täisnurkse kolmnurga kaatetid on teineteisega risti, seega on üks kaatet alus ja teine kõrgus. Pindala arvutame tegelike mõõtudega. Kui arvutada enne plaani pindala (13,5 cm2), tuleb seda korrutada mõõtkava ruuduga: 13,5⋅502=33750m2.
VASTUS
1) Maatüki kolmanda külje pikkus plaanil on 7,5 cm. 2) Plaani joonis on joonisel. 3) Maatüki ümbermõõt tegelikkuses on 900 m ja pindala 33750 m2.