Põhikooli lõpueksam 2019, ülesanne 6: Poolring, sirged ja kolmnurk koordinaatteljestikus
Joonisel on poolring, mille läbimõõt x-teljel on AB.
Märgi joonisele punktid A ja B.
1.Joonesta samasse koordinaatteljestikku sirged y=x+2 ja y=−x+4.
2.Tähista sirgete lõikepunkt C ja leia selle koordinaadid.
3.Tekib kolmnurk ABC. Viiruta see kolmnurk ja leia kolmnurga pindala.
4.Arvuta poolringist viirutamata osa pindala.Mitu protsenti moodustab see poolringi pindalast?
Tulemused ümarda kümnendikeni.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2019, ülesanne 6
Ülesande joonis
−4−3−2−1123456−2−11234560xy
Valemikaart: lineaarfunktsioon
y=ax+b
a on to˜us,b on algordinaat
Valemikaart: ringjoon ja ring
C=2πr
S=πr2
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Loe jooniselt, millistes punktides poolringi kaar x-teljele toetub. Sirge joonestamiseks piisab kahest punktist; lõikepunktis on mõlema sirge y sama.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Märgi punktid A ja B
Kõigepealt tuleb märkida joonisele läbimõõdu otspunktid A ja B. Poolringi kaar toetub x-teljele kohtadel x=−2 ja x=4.
Kirjutame läbimõõdu otspunktide koordinaadid. Mõlemad asuvad x-teljel, seega on nende y-koordinaat 0.
A(−2;0),B(4;0)
Leiame läbimõõdu pikkuse otspunktide x-koordinaatide vahena.
AB=4−(−2)=4+2=6
Raadius on pool läbimõõdust.
r=6:2=3
−4−3−2−1123456−2−11234560xyAB
Poolringi keskpunkt on lõigu AB keskel punktis (1;0). Raadiust läheb vaja neljandas küsimuses.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Joonesta sirge y = x + 2
Esimeses küsimuses tuleb joonestada kaks sirget. Sirge joonestamiseks piisab kahest punktist, kolmas punkt on kontrolliks. Koostame sirge y=x+2 väärtuste tabeli.
Arvutame y väärtuse, kui x=−2.
y=−2+2=0
Arvutame y väärtuse, kui x=0.
y=0+2=2
Arvutame y väärtuse, kui x=2.
y=2+2=4
Kanname tulemused väärtuste tabelisse ja tõmbame läbi nende punktide sirge.
xy−200224
−4−3−2−1123456−2−11234560xyy=x+2AB
Punkt (−2;0) on punkt A, seega läbib sirge punkti A. Tõus 1 tähendab, et ühe ühiku võrra paremale liikudes tõuseb sirge ühe ühiku.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Joonesta sirge y = −x + 4
Koostame ka sirge y=−x+4 väärtuste tabeli.
Arvutame y väärtuse, kui x=0.
y=−0+4=4
Arvutame y väärtuse, kui x=2.
y=−2+4=2
Arvutame y väärtuse, kui x=4.
y=−4+4=0
Kanname tulemused väärtuste tabelisse ja tõmbame läbi nende punktide sirge.
xy042240
−4−3−2−1123456−2−11234560xyy=x+2y=−x+4AB
Punkt (4;0) on punkt B. Tõus −1 tähendab, et sirge langeb: ühe ühiku võrra paremale liikudes väheneb y ühe võrra.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia sirgete lõikepunkt C
Teises küsimuses tuleb leida sirgete lõikepunkt C. Lõikepunktis on mõlemal sirgel sama x ja sama y, seega võrdsustame sirgete avaldised.
Võrdsustame sirgete võrrandite paremad pooled.
x+2=−x+4
Viime x-iga liikmed vasakule ja arvud paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
x+x=4−2
Koondame. Et x jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 2.
2x=2:2
Saame lõikepunkti x-koordinaadi.
x=1
Leiame y-koordinaadi: asendame x=1 esimese sirge võrrandisse.
y=1+2=3
Kontrolliks asendame x=1 ka teise sirge võrrandisse. Saame sama y.
y=−1+4=3
Kirjutame lõikepunkti koordinaadid.
C(1;3)
−4−3−2−1123456−2−11234560xyy=x+2y=−x+4ABC(1;3)
Lõikepunkti saab lugeda ka jooniselt, aga arvutus kinnitab, et koordinaadid on täpsed. Vastuseks on punkt, seega anname mõlemad koordinaadid.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Arvuta kolmnurga ABC pindala
Kolmandas küsimuses tuleb viirutada kolmnurk ABC ja leida selle pindala. Kolmnurga alus AB on x-teljel ja selle pikkus on 6. Alusele tõmmatud kõrgus on punkti C kaugus x-teljest ehk punkti Cy-koordinaat 3.
Kirjutame kolmnurga pindala valemi, kus a on alus ja h sellele tõmmatud kõrgus.
Kolmnurga pindala on 9 ruutühikut. Punkt C asub täpselt poolringi kaarel, sest selle kaugus keskpunktist (1;0) on 3 ehk võrdne raadiusega. Kolmnurk jääb seega tervenisti poolringi sisse.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Arvuta poolringi pindala
Neljandas küsimuses tuleb leida viirutamata osa pindala. Selleks on vaja poolringi pindala. Poolringi raadius on r=3.
Poolringi pindala on pool ringi pindalast.
Spoolring=2πr2
Asendame raadiuse r=3. Vahetulemuse jätame kolme kümnendkohaga, tulemuse ümardame kümnendikeni.
Spoolring=2π⋅32=29π=4,5π≈14,137≈14,1
Vahetulemuse jätame täpsemaks (14,137), et järgmised arvutused ei läheks ümardamise tõttu nihkesse.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 4Samm 7: Arvuta viirutamata osa pindala
Viirutamata osa on see osa poolringist, mis jääb kolmnurgast välja: kaks ühesugust tükki kolmnurga külgede ja kaare vahel.
Lahutame poolringi pindalast kolmnurga pindala ja ümardame kümnendikeni.
S=Spoolring−SABC≈14,137−9=5,137≈5,1
−4−3−2−1123456−2−11234560xyy=x+2y=−x+4ABC(1;3)
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 4Samm 8: Leia, mitu protsenti see on poolringi pindalast
Jagame osa (viirutamata osa) tervikuga (poolring) ja korrutame 100%-ga. Kasutame ümardamata vahetulemusi.
14,1375,137⋅100%≈0,3634⋅100%≈36,3%
Tervik on poolringi pindala, mitte kolmnurga pindala. Täpne väärtus on (1−π2)⋅100%≈36,34%.
VASTUS
Punktid on A(−2;0) ja B(4;0). 1) Sirged on joonisel. 2) Sirgete lõikepunkt on C(1;3). 3) Kolmnurga ABC pindala on 9 ruutühikut. 4) Poolringi viirutamata osa pindala on ligikaudu 5,1 ruutühikut ja see moodustab poolringi pindalast ligikaudu 36,3%.