Põhikooli lõpueksam 2016, ülesanne 3: Ruut, trapets ja kolmnurk
Joonisel on ruut ABCD, mille ümbermõõt on 12 cm.
1.Arvuta ruudu ABCD külje pikkus.
2.Pikenda joonisel lõiku AD 1 cm võrra üle otspunkti D punktini E ning joonesta lõik CE.
3.Kuidas nimetatakse nelinurka ABCE?
4.Joonesta lõik BE ja arvuta selle pikkus.
5.Viiruta joonisel kolmnurk BDE ja arvuta selle kolmnurga pindala.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2016, ülesanne 3
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
ABCD
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Punkt E asub sirgel AD, seega on lõik AE ruudu küljega BC paralleelne ja lõiguga AB risti. Lõigu BE jaoks otsi täisnurkset kolmnurka.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta ruudu külg
Esimeses küsimuses tuleb leida ruudu külje pikkus. Ruudu kõik neli külge on võrdsed, seega on ümbermõõt neli korda külje pikkus.
Kirjutame ruudu ümbermõõdu valemi, kus a on ruudu külg.
P=4a
Asendame ümbermõõdu P=12 cm. Et a jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 4.
4a=12:4
Saame ruudu külje pikkuse.
a=12:4=3 (cm)
3 cm3 cmABCD
Ruudu kõik neli külge on võrdsed, seega on üks külg veerand ümbermõõdust.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Märgi punkt E ja joonesta lõik CE
Teises küsimuses tuleb joonist täiendada. Pikendame lõiku AD üle punkti D ühe sentimeetri võrra. Lõpp-punkt on E, seega DE=1 cm. Seejärel ühendame punktid C ja E.
Punkt E asub sirgel AD punktist D edasi, seega koosneb lõik AE lõikudest AD ja DE.
AE=AD+DE=3+1=4 (cm)
3 cm3 cm1 cmABCDE
Eksamilehe ruudustikul on ühe ruudu külg 0,5 cm, seega on E punktist D kahe ruudu kaugusel. Lõiku AE läheb meil vaja neljandas küsimuses.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 3Samm 3: Nimeta nelinurk ABCE
Kolmandas küsimuses tuleb nimetada nelinurk ABCE. Selleks uurime, millised selle küljed on paralleelsed ja millised nurgad on täisnurgad.
Ruudu vastasküljed BC ja AD on paralleelsed ning AE asub sirgel AD. Seega on küljed BC ja AE paralleelsed.
BC∥AE
Küljed AB ja CE ei ole paralleelsed: AB on alusega AE risti, CE aga on kaldu.
AB∦CE
Nelinurk, millel on täpselt üks paar paralleelseid külgi, on trapets.
ABCE on trapets
Haar AB on alustega risti, sest ruudu nurgad A ja B on täisnurgad. Seega on trapets täisnurkne.
AB⊥AE⇒ABCE on ta¨isnurkne trapets
3 cm3 cm1 cmABCDE
Trapetsi paralleelsed küljed on alused: siin BC=3 cm ja AE=4 cm. Haarad on AB ja CE. Kui üks haar on alustega risti, nimetatakse trapetsit täisnurkseks.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 4Samm 4: Vaatle täisnurkset kolmnurka ABE
Neljandas küsimuses tuleb joonestada lõik BE ja arvutada selle pikkus. Lõik BE on kolmnurga ABE külg. See kolmnurk on täisnurkne, sest nurk A on ruudu nurk ehk täisnurk.
Lõik BE on täisnurga vastas, seega on see hüpotenuus. Kaatetid on AB=3 cm ja AE=4 cm. Kirjutame Pythagorase teoreemi.
BE2=AB2+AE2
3 cm1 cm4 cmABCDE
Punkt E asub külje AD pikendusel, seega on nurk BAE sama mis ruudu nurk BAD ehk täisnurk. Täisnurga vastas olev külg on hüpotenuus.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 4Samm 5: Arvuta lõigu BE pikkus
Asendame kaatetite pikkused ja arvutame ruudud.
BE2=32+42=9+16=25
Võtame ruutjuure. Et 52=25, siis 25=5.
BE=25=5 (cm)
3 cm1 cm4 cm5 cmABCDE
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 5Samm 6: Viiruta kolmnurk BDE
Viiendas küsimuses tuleb viirutada kolmnurk BDE ja arvutada selle pindala. Joonestame lõigu BD (ruudu diagonaal) ja viirutame kolmnurga, mille tipud on B, D ja E.
Kirjutame kolmnurga pindala valemi, kus a on kolmnurga alus ja h sellele alusele tõmmatud kõrgus.
S=2a⋅h
3 cm1 cm4 cm5 cmABCDE
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 5Samm 7: Leia alus ja kõrgus
Võtame aluseks külje DE. Sellele vastav kõrgus on ristlõik tipust B aluse sirgeni AE. See on ruudu külg AB, sest AB⊥AE.
Kirjutame aluse ja kõrguse pikkused.
a=DE=1 cm,h=AB=3 cm
5 cmh=3 cma=1 cmABCDE
Kolmnurga BDE nurk tipus D on nürinurk (135∘), seepärast langeb tipust B tõmmatud kõrgus väljapoole kolmnurka, aluse DE pikendusele. Kõrgus on ikkagi ristlõik tipust aluse sirgeni ja see on AB.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 5Samm 8: Arvuta pindala
Asendame aluse a=1 cm ja kõrguse h=3 cm pindala valemisse.
S=21⋅3=23=1,5(cm2)
Kontrollime teise teega: kolmnurga ABE pindalast lahutame kolmnurga ABD pindala.
SABE−SABD=23⋅4−23⋅3=6−4,5=1,5(cm2)
5 cmh=3 cma=1 cmSBDE=1,5 cm2ABCDE
Kolmnurgad ABE ja ABD on mõlemad täisnurksed (täisnurk tipus A), seega on nende pindala pool kaatetite korrutisest. Kolmnurk BDE on nende vahe.
VASTUS
1) Ruudu ABCD külje pikkus on 3 cm. 2) Punkt E ja lõik CE on joonisel. 3) Nelinurk ABCE on trapets, täpsemalt täisnurkne trapets. 4) Lõigu BE pikkus on 5 cm. 5) Kolmnurk BDE on joonisel viirutatud ja selle pindala on 1,5 cm2.