Põhikooli lõpueksam 2016, ülesanne 4: Sõstrapõõsad aias
Aias oli mustasõstrapõõsaid 2 korda rohkem kui punasesõstrapõõsaid. Kevadel otsustati aeda uuendada. Punasesõstrapõõsaste arvu suurendati 3 võrra ja mustasõstrapõõsaste arvu vähendati 9 võrra. Nüüd on aias kokku 57 sõstrapõõsast.Mitu punase- ja mitu mustasõstrapõõsast oli aias enne uuendamist?
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2016, ülesanne 4
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista punasesõstrapõõsaste esialgne arv tähega x. Siis saad nii mustasõstrapõõsaste arvu kui ka mõlemad uued arvud avaldada x kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tähista tundmatu
Ülesandes tuleb leida, mitu punase- ja mitu mustasõstrapõõsast oli aias enne uuendamist. Mõlemad arvud on tundmatud, aga mustade arv sõltub punaste arvust. Seega piisab ühest tundmatust.
Tähistame punasesõstrapõõsaste arvu enne uuendamist tähega x.
punaseid enne: x
Mustasõstrapõõsaid oli 2 korda rohkem, seega korrutame punaste arvu kahega.
musti enne: 2⋅x=2x
Tundmatuks on mugav võtta väiksem arv, siis ei teki murde. „2 korda rohkem“ tähendab korrutamist kahega, mitte kahe liitmist.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Avalda põõsaste arv pärast uuendamist
Kevadel muudeti mõlema põõsaliigi arvu. Avaldame uued arvud tundmatu x kaudu.
Punasesõstrapõõsaste arvu suurendati 3 võrra, seega liidame arvu 3.
punaseid nu¨u¨d: x+3
Mustasõstrapõõsaste arvu vähendati 9 võrra, seega lahutame arvu 9.
musti nu¨u¨d: 2x−9
„Suurendati 3 võrra“ tähendab liitmist ja „vähendati 9 võrra“ lahutamist.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Koosta võrrand
Pärast uuendamist on põõsaid kokku 57. See annab võrrandi.
Liidame põõsaste uued arvud ja võrdsustame summa arvuga 57.
(x+3)+(2x−9)=57
Arv 57 käib uue olukorra kohta, seepärast liidame uued arvud, mitte esialgsed.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Lahenda võrrand
Avame sulud. Sulgude ees on plussmärk, seega liikmete märgid ei muutu.
x+3+2x−9=57
Koondame sarnased liikmed: x+2x=3x ja 3−9=−6.
3x−6=57
Jätame x-iga liikme vasakule ja viime arvu −6 paremale poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub.
3x=57+6
Liidame arvud. Et x jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga 3.
3x=63:3
Saame punasesõstrapõõsaste arvu enne uuendamist.
x=63:3=21
Võrrandi mõlemat poolt võib jagada sama arvuga (mis ei ole null), lahend sellest ei muutu.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Leia mustasõstrapõõsaste arv
Punasesõstrapõõsaid oli enne uuendamist 21. Mustasõstrapõõsaid oli 2x.
Asendame avaldisse 2x leitud väärtuse x=21.
2x=2⋅21=42
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Kontrolli vastust
Kontrollime, kas leitud arvud sobivad ülesande tekstiga. Võrrandisse asendame x=21 ja arvutame eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp).
Mustasõstrapõõsaid oli 2 korda rohkem kui punaseid: jagame mustade arvu punaste arvuga.
42:21=2
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=21. See on põõsaste arv pärast uuendamist.
vp=(21+3)+(2⋅21−9)=24+33=57
Võrrandi parem pool on põõsaste arv tekstis.
pp=57
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega leitud arvud sobivad.
57=57 ehk vp=pp
Pärast uuendamist on aias 24 punase- ja 33 mustasõstrapõõsast, kokku 57, nagu tekstis. Sama ülesande saab lahendada ka kahe tundmatuga süsteemiga m=2p ja (p+3)+(m−9)=57.
VASTUS
Enne uuendamist oli aias 21 punasesõstrapõõsast ja 42 mustasõstrapõõsast.