Põhikooli lõpueksam 2016, ülesanne 2: Ruutfunktsiooni graafik
On antud funktsioon y=(x+3)(x−1).
1.Arvuta selle funktsiooni graafiku ja koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadidning parabooli haripunkti koordinaadid.
2.Joonesta selle funktsiooni graafik.
3.Kas punkt M(2;5) asub selle funktsiooni graafikul? Põhjenda oma vastust.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2016, ülesanne 2
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
−6−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xy
Valemikaart: parabooli haripunkt
y=ax2+bx+c
xh=−2ab=2x1+x2
yh=f(xh)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Funktsioon on antud tegurdatud kujul, seega saad nullkohad kätte ilma sulge avamata. Korrutis on null siis, kui üks teguritest on null.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia lõikepunktid x-teljega
Esimeses küsimuses tuleb leida graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega ja parabooli haripunkt. Alustame x-teljest. Kõigil x-telje punktidel on y=0, seega võrdsustame funktsiooni avaldise nulliga.
Asendame valemisse y=0.
(x+3)(x−1)=0
Korrutis on null siis, kui vähemalt üks tegur on null. Võrdsustame kumbagi tegurit nulliga.
x+3=0vo˜ix−1=0
Lahendame mõlemad võrrandid: esimeses viime arvu 3 paremale poole, teises arvu −1. Teisele poole viidud arvu märk muutub.
x1=−3,x2=1
Lõikepunktides x-teljega on y=0. Kirjutame lõikepunktide koordinaadid.
(−3;0)ja(1;0)
−6−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xy(−3;0)(1;0)
Funktsioon on antud tegurdatud kujul, seega sulge ei ole vaja avada. Küsitud on punktide koordinaadid, seega kirjutame nullkohad punktidena, mille y-koordinaat on 0.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia lõikepunkt y-teljega
Kõigil y-telje punktidel on x=0. Asendame funktsiooni valemisse x=0.
Asendame x=0, arvutame sulgudes ja seejärel korrutame.
Sama tulemuse annab valem xh=−2ab: kui avame sulud, saame y=x2+2x−3, kus a=1 ja b=2, seega xh=−2⋅12=−1.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta väärtuste tabel
Teises küsimuses tuleb joonestada graafik. Sulgude avamisel saame y=x2+2x−3; ruutliikme kordaja on 1>0, seega parabool avaneb üles. Leitud neli punkti on juba teljestikus. Arvutame juurde punktid haripunktist mõlemale poole ja koostame väärtuste tabeli.
Arvutame y väärtuse, kui x=−2.
y=(−2+3)(−2−1)=1⋅(−3)=−3
Arvutame y väärtuse, kui x=2.
y=(2+3)(2−1)=5⋅1=5
Arvutame y väärtuse, kui x=−4. Kahe negatiivse arvu korrutis on positiivne.
Parabooli punkte ühendatakse sujuva kõverjoonega, mitte sirglõikudega. Haripunkti juures on parabool ümar, mitte terav.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Kontrolli punkti M
Kolmandas küsimuses tuleb kontrollida, kas punkt M(2;5) asub graafikul. Punkt asub graafikul siis, kui tema koordinaadid rahuldavad funktsiooni valemit: kui asendame x=2, peab tulema y=5.
Asendame funktsiooni valemisse punkti M koordinaadid x=2 ja y=5.
5=(2+3)(2−1)
Võrduse vasak pool on punkti My-koordinaat.
vp=5
Arvutame võrduse parema poole ehk funktsiooni väärtuse kohal x=2.
pp=(2+3)(2−1)=5⋅1=5
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega punkti M koordinaadid rahuldavad funktsiooni valemit.
Põhjenduseks ei piisa jooniselt vaatamisest, sest joonis on ligikaudne. Arvutus näitab, et kohal x=2 on funktsiooni väärtus täpselt 5, mis on punkti M teine koordinaat.
VASTUS
1) Graafik lõikab x-telge punktides (−3;0) ja (1;0) ning y-telge punktis (0;−3). Parabooli haripunkt on H(−1;−4). 2) Graafik on joonisel. 3) Punkt M(2;5) asub funktsiooni graafikul, sest x=2 korral on y=(2+3)(2−1)=5, mis on punkti My-koordinaat.