Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Joonesta mõlemad paraboolid väärtuste tabeli abil. Pindala on integraal ülemise ja alumise joone vahest. Uuri, kumba parabooli sirge y = − 2 y = -2 y = − 2
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Joonesta parabool y = x² − 6 Esimeses küsimuses tuleb teha joonis. Parabooli y = x 2 − 6 y = x^2 - 6 y = x 2 − 6 ( 0 ; − 6 ) (0;\,-6) ( 0 ; − 6 )
Arvutame parabooli punktid. Parabool on y y y
x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 y 3 − 2 − 5 − 6 − 5 − 2 3 \begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 3 & -2 & -5 & -6 & -5 & -2 & 3 \end{array} x y − 3 3 − 2 − 2 − 1 − 5 0 − 6 1 − 5 2 − 2 3 3 Miks nii? Näiteks x = − 1 x = -1 x = − 1 y = 1 − 6 = − 5 y = 1 - 6 = -5 y = 1 − 6 = − 5 x = 2 x = 2 x = 2 y = 4 − 6 = − 2 y = 4 - 6 = -2 y = 4 − 6 = − 2 2 Küsimus 1 Samm 2: Joonesta parabool y = x² − 2x Leiame haripunkti abstsissi.
x h = − b 2 a = − − 2 2 ⋅ 1 = 1 , y h = 1 − 2 = − 1 x_h \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-\frac{b}{2a}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-\frac{-2}{2 \cdot 1}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{1, \qquad y_h} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{1 - 2} \mathrel{\htmlData{seg=5}{=}} \htmlData{seg=5}{-1} x h = − 2 a b = − 2 ⋅ 1 − 2 = 1 , y h = 1 − 2 = − 1 Arvutame parabooli punktid.
x − 1 0 1 2 3 y 3 0 − 1 0 3 \begin{array}{c|ccccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \end{array} x y − 1 3 0 0 1 − 1 2 0 3 3 Miks nii? Parabool y = x 2 − 2 x = x ( x − 2 ) y = x^2 - 2x = x(x - 2) y = x 2 − 2 x = x ( x − 2 ) x x x 0 0 0 2 2 2 ( 1 ; − 1 ) (1;\,-1) ( 1 ; − 1 ) 3 Küsimus 1 Samm 3: Leia joonte lõikepunktid Kujundi nurgad on joonte lõikepunktides. Paraboolide lõikepunkti leiame võrrandist.
Võrdsustame paraboolide avaldised.
x 2 − 6 = x 2 − 2 x x^2 - 6 = x^2 - 2x x 2 − 6 = x 2 − 2 x Liikmed x 2 x^2 x 2
2 x = 6 ⇒ x = 3 , y = 9 − 6 = 3 2x \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{6 \;\Rightarrow\; \hl{x = 3}, \quad y} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{9 - 6} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{3} 2 x = 6 ⇒ x = 3 , y = 9 − 6 = 3 Arvutame paraboolide väärtused sirgel x = − 1 x = -1 x = − 1
y = ( − 1 ) 2 − 6 = − 5 , y = ( − 1 ) 2 − 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{(-1)^2 - 6} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{-5}, \qquad y} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{(-1)^2 - 2 \cdot (-1)} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{3}} y = ( − 1 ) 2 − 6 = − 5 , y = ( − 1 ) 2 − 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 Miks nii? Sirge x = − 1 x = -1 x = − 1 y y y ( − 1 ; 0 ) (-1;\,0) ( − 1 ; 0 ) 4 Küsimus 1 Samm 4: Viiruta kujund Kujund asub lõigul − 1 ≤ x ≤ 3 -1 \le x \le 3 − 1 ≤ x ≤ 3
− 1 ≤ x ≤ 3 , x 2 − 6 ≤ y ≤ x 2 − 2 x -1 \le x \le 3, \qquad x^2 - 6 \le y \le x^2 - 2x − 1 ≤ x ≤ 3 , x 2 − 6 ≤ y ≤ x 2 − 2 x Miks nii? Kohal x = 0 x = 0 x = 0 y = x 2 − 2 x y = x^2 - 2x y = x 2 − 2 x 0 0 0 y = x 2 − 6 y = x^2 - 6 y = x 2 − 6 − 6 -6 − 6 y = x 2 − 2 x y = x^2 - 2x y = x 2 − 2 x ( x 2 − 2 x ) − ( x 2 − 6 ) = 6 − 2 x ≥ 0 (x^2 - 2x) - (x^2 - 6) = 6 - 2x \ge 0 ( x 2 − 2 x ) − ( x 2 − 6 ) = 6 − 2 x ≥ 0 x ≤ 3 x \le 3 x ≤ 3 5 Küsimus 2 Samm 5: Arvuta kogu kujundi pindala Teises küsimuses on vaja kahe osa pindala. Arvutame kõigepealt kogu kujundi pindala.
Pindala on integraal ülemise ja alumise joone vahest.
S = ∫ − 1 3 ( ( x 2 − 2 x ) − ( x 2 − 6 ) ) d x = ∫ − 1 3 ( 6 − 2 x ) d x S \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\int_{-1}^{3} \Big((x^2 - 2x) - (x^2 - 6)\Big)\,dx} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\int_{-1}^{3} (6 - 2x)\,dx} S = ∫ − 1 3 ( ( x 2 − 2 x ) − ( x 2 − 6 ) ) d x = ∫ − 1 3 ( 6 − 2 x ) d x Leiame algfunktsiooni ja asendame rajad.
S = ( 6 x − x 2 ) ∣ − 1 3 = ( 18 − 9 ) − ( − 6 − 1 ) = 9 + 7 = 16 S \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{(6x - x^2)\Big|_{-1}^{3}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{(18 - 9) - (-6 - 1)} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{9 + 7} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{16}} S = ( 6 x − x 2 ) − 1 3 = ( 18 − 9 ) − ( − 6 − 1 ) = 9 + 7 = 16 6 Küsimus 2 Samm 6: Leia, kus sirge y = −2 kujundit lõikab Lõikepunkt paraboolil y = x 2 − 6 y = x^2 - 6 y = x 2 − 6
x 2 − 6 = − 2 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ± 2 x^2 - 6 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-2 \;\Rightarrow\; x^2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{4 \;\Rightarrow\; x} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\pm 2} x 2 − 6 = − 2 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ± 2 Kujundis on − 1 ≤ x ≤ 3 -1 \le x \le 3 − 1 ≤ x ≤ 3 x = 2 x = 2 x = 2
( 2 ; − 2 ) \hl{(2;\,-2)} ( 2 ; − 2 ) Parabooli y = x 2 − 2 x y = x^2 - 2x y = x 2 − 2 x − 1 -1 − 1 y = − 2 y = -2 y = − 2
x 2 − 2 x = − 2 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 0 , D = 4 − 8 < 0 x^2 - 2x \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-2 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x + 2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{0, \quad D} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{4 - 8 < 0} x 2 − 2 x = − 2 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 0 , D = 4 − 8 < 0 Miks nii? Sirge y = − 2 y = -2 y = − 2 ( − 1 ; − 2 ) (-1;\,-2) ( − 1 ; − 2 ) x = − 1 x = -1 x = − 1 ( 2 ; − 2 ) (2;\,-2) ( 2 ; − 2 ) y = − 2 y = -2 y = − 2 y = x 2 − 6 y = x^2 - 6 y = x 2 − 6 [ − 1 ; 2 ] [-1;\,2] [ − 1 ; 2 ] 7 Küsimus 2 Samm 7: Arvuta alumise osa pindala Ülemine joon on y = − 2 y = -2 y = − 2 y = x 2 − 6 y = x^2 - 6 y = x 2 − 6
S 1 = ∫ − 1 2 ( − 2 − ( x 2 − 6 ) ) d x = ∫ − 1 2 ( 4 − x 2 ) d x S_1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\int_{-1}^{2} \Big(-2 - (x^2 - 6)\Big)\,dx} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\int_{-1}^{2} (4 - x^2)\,dx} S 1 = ∫ − 1 2 ( − 2 − ( x 2 − 6 ) ) d x = ∫ − 1 2 ( 4 − x 2 ) d x Leiame algfunktsiooni ja asendame rajad.
S 1 = ( 4 x − x 3 3 ) ∣ − 1 2 = ( 8 − 8 3 ) − ( − 4 + 1 3 ) = 16 3 + 11 3 = 9 S_1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\left(4x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-4 + \frac{1}{3}\right)} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{16}{3} + \frac{11}{3}} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{9}} S 1 = ( 4 x − 3 x 3 ) − 1 2 = ( 8 − 3 8 ) − ( − 4 + 3 1 ) = 3 16 + 3 11 = 9 Miks nii? 8 − 8 3 = 16 3 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} 8 − 3 8 = 3 16 − 4 + 1 3 = − 11 3 -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} − 4 + 3 1 = − 3 11 16 3 + 11 3 = 27 3 = 9 \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = \frac{27}{3} = 9 3 16 + 3 11 = 3 27 = 9 8 Küsimus 2 Samm 8: Arvuta ülemise osa pindala Ülemine osa on kogu kujund ilma alumise osata.
S 2 = S − S 1 = 16 − 9 = 7 S_2 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{S - S_1} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{16 - 9} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{7}} S 2 = S − S 1 = 16 − 9 = 7 Miks nii? Otse arvutades muutub alumine piir kohal x = 2 x = 2 x = 2 S 2 = ∫ − 1 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) d x + ∫ 2 3 ( 6 − 2 x ) d x = 6 + 1 = 7 S_2 = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 2)\,dx + \int_{2}^{3} (6 - 2x)\,dx = 6 + 1 = 7 S 2 = ∫ − 1 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) d x + ∫ 2 3 ( 6 − 2 x ) d x = 6 + 1 = 7 VASTUS 1) Joonisel on viirutatud kujund paraboolide y = x 2 − 6 y = x^2 - 6 y = x 2 − 6 y = x 2 − 2 x y = x^2 - 2x y = x 2 − 2 x − 1 ≤ x ≤ 3 -1 \le x \le 3 − 1 ≤ x ≤ 3 y = − 2 y = -2 y = − 2 9 9 9 7 7 7
Alumise osa ülemiseks piiriks võetakse parabool y = x 2 − 2 x y = x^2 - 2x y = x 2 − 2 x y = − 2 y = -2 y = − 2 [ − 1 ; 2 ] [-1;\,2] [ − 1 ; 2 ] y = − 2 y = -2 y = − 2
Alumise osa rajaks võetakse x = − 2 x = -2 x = − 2 x 2 − 6 = − 2 x^2 - 6 = -2 x 2 − 6 = − 2 − 2 -2 − 2 x = − 1 x = -1 x = − 1 − 1 -1 − 1
∫ − 2 2 ( 4 − x 2 ) d x \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx ∫ − 2 2 ( 4 − x 2 ) d x vale raja
Ülesanne 10 Ülesanne 12