GÜMNAASIUMTuletis ja selle rakendused

Funktsiooni ekstreemumid

Ekstreemumkohas vahetub funktsiooni kasvamine kahanemisega või vastupidi. Sellises kohas on tuletis null.

Maksimum ja miinimum

Suurim ja vähim väärtus lõigul

Tähised

$f(x)$: uuritav funktsioon
$f'(x)$ , $f'$: funktsiooni $f$ tuletis
$x_0$: tuletise nullkoht (kriitiline koht); lõigu korral kõik lõigule $[a;\,b]$ jäävad tuletise nullkohad
$+ \to -$: tuletise märk muutub kohta $x_0$ vasakult paremale läbides plussist miinuseks
$f''(x_0)$: teine tuletis (tuletise tuletis) kohal $x_0$
$a$ , $b$: lõigu $[a;\,b]$ otspunktid
$f(a)$ , $f(b)$ , $f(x_0)$: funktsiooni väärtused lõigu otspunktides ja tuletise nullkohtades

f'(x_0) = 0

f' \text{ märk muutub: } + \to - \qquad \text{või} \qquad f''(x_0) < 0

f' \text{ märk muutub: } - \to + \qquad \text{või} \qquad f''(x_0) > 0

\text{võrdle: } f(a), \; f(b) \;\text{ ja }\; f(x_0)

Harjutuspank

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

1Leia tuletis $f'(x)$ .
2Lahenda võrrand $f'(x) = 0$ .
3Määra iga lahendi korral ekstreemumi liik (tuletise märgi või teise tuletise abil).
4Arvuta ekstreemumpunktide $y$ -koordinaadid funktsioonist $f(x)$ .

Kui $f'(x_0) = 0$ , aga tuletise märk ei muutu, siis ekstreemumit ei ole (nt $y = x^3$ kohal $0$ ).
Ekstreemumkoht on $x$ väärtus; ekstreemumpunktil on kaks koordinaati.