Lai riigieksam 2015, ülesanne 8: Kuupfunktsiooni ekstreemumid ja puutuja

On antud funktsioon $\esile{f}{f(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^3}$ .

1.Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kahanemisvahemikud.
2.Punkt $A$ , mille abtsiss on $x_0 = 3$ , asub funktsiooni $f(x)$ graafikul. Läbi punkti $A$ on tõmmatud funktsiooni $f(x)$ graafikule puutuja, mis lõikab funktsiooni $f(x)$ graafikut punktis $B$ . Koostage selle puutuja võrrand ja arvutage punkti $B$ koordinaadid.

Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2015, ülesanne 8

Funktsiooni graafik

Lahenduse joonis

Selle joonise teed lahendamise käigus ise.

c' = 0, \quad x' = 1, \quad (x^n)' = nx^{n-1}

\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

(e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln a

(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

(u + v)' = u' + v', \quad (u - v)' = u' - v', \quad (c \cdot u)' = c \cdot u'

(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

u,\ v \text{ on funktsioonid},\ c \text{ on konstant}

y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0)

Täitub sammus 2.

Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.