GÜMNAASIUMTuletis ja selle rakendused

Tuletise leidmine

Tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirust. Iga tuletise saab leida tuletiste tabeli ja nelja reegli abil.

Tuletis piirväärtusena

Tähised

$x$: muutuja (funktsiooni argument)
$'$: tuletis, nt $f'(x)$ on funktsiooni $f$ tuletis
$n$: astendaja (mis tahes reaalarv)
$c$: konstant (muutujast sõltumatu arv)
$u$ , $v$: muutuja $x$ funktsioonid, $u = u(x)$ ja $v = v(x)$
$f$ , $g$: liitfunktsiooni välimine ( $f$ ) ja sisemine ( $g$ ) funktsioon
$\sin$ , $\cos$ , $\tan$: siinus, koosinus, tangens
$e$: naturaallogaritmi alus, $e \approx 2{,}718$
$a$: eksponent- või logaritmfunktsiooni alus ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ); piirväärtuse valemis arv, millele $x$ läheneb
$\ln$: naturaallogaritm (logaritm alusel $e$ )
$\log_a$: logaritm alusel $a$
$\lim\limits_{x \to a}$: piirväärtus, kui $x$ läheneb arvule $a$
$\Delta x$: argumendi muut (väike juurdekasv)

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Tuletis on lõikaja tõusu piirväärtus, kui teine punkt läheneb esimesele.

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Polünoomi ja teiste pidevate funktsioonide piirväärtuse saab arvu asendades.

\left(x^n\right)' = n x^{n-1}, \qquad c' = 0

(u \pm v)' = u' \pm v', \qquad (cu)' = c \cdot u'

(uv)' = u'v + uv'

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

\left[f\left(g(x)\right)\right]' = f'\left(g(x)\right) \cdot g'(x)

Välimise funktsiooni tuletis korda sisemise funktsiooni tuletis.

(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x, \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

\left(e^x\right)' = e^x, \qquad \left(a^x\right)' = a^x \ln a

(\ln x)' = \frac{1}{x}, \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Harjutuspank

30 ülesannet viiel raskusastmel, põhioskusest eksamitasemeni. Iga vastus on arvutiga kontrollitud.

Korrutise tuletis ei ole tuletiste korrutis: $(uv)' \neq u' \cdot v'$ .
Enne tuletise võtmist kirjuta juured ja murrud astmetena: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ .