Põhikooli lõpueksam 2022, ülesanne 6: Liivakasti liiv ja kuusnurkne kast

Tuleb võrrelda liiva ruumala ja uue kasti ruumala. Alustame vanast kastist ja liivast. Põhiservad on antud meetrites, kõrgus sentimeetrites, seega teisendame kõrguse meetriteks.

Ühes meetris on $100$ sentimeetrit, seega jagame arvuga $100$.

Liivaga on täidetud $\frac{5}{6}$ kasti kõrgusest. Osa leidmiseks korrutame kõrguse murruga $\frac{5}{6}$.

Liiv moodustab risttahuka, mille põhiservad on $2{,}5$ m ja $2{,}0$ m ning kõrgus $0{,}25$ m.

Risttahukas on püstprisma. Kirjutame selle ruumala valemi.

Põhi on ristkülik, selle pindala on põhiservade korrutis.

Korrutame põhja pindala liivakihi kõrgusega $0{,}25$ m.

Nüüd arvutame uue kasti ruumala. Selleks on vaja põhja pindala. Korrapärane kuusnurk jaotub keskpunkti läbivate diagonaalidega kuueks võrdseks võrdkülgseks kolmnurgaks. Iga kolmnurga külg on sama pikk kui kuusnurga külg ehk $1{,}4$ m.

Keskpunkti ümber on kuus võrdset nurka.

Võrdkülgse kolmnurga kõrgus $h$ poolitab aluse. Tekib täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on $1{,}4$ m ja üks kaatet pool alusest.

Leiame poole alusest.

Kirjutame Pythagorase teoreemi: kaatetid on $h$ ja $0{,}7$ m, hüpotenuus $1{,}4$ m.

Viime $0{,}7^2$ paremale poole ja arvutame ruudud.

Võtame ruutjuure ja ümardame sajandikeni.

Kirjutame kolmnurga pindala valemi: alus korda kõrgus jagatud kahega.

Asendame aluse $a = 1{,}4$ m ja kõrguse $h \approx 1{,}21$ m.

Kuusnurk koosneb kuuest ühesugusest kolmnurgast. Korrutame ühe kolmnurga pindala kuuega ja ümardame kümnendikeni.

Uus kast on püstprisma, mille kõrgus on sama mis vanal kastil ehk $0{,}3$ m.

Kirjutame püstprisma ruumala valemi.

Asendame põhja pindala $S_p \approx 5{,}1 \text{ m}^2$ ja kasti kõrguse $0{,}3$ m.

Võrdleme liiva ruumala uue kasti ruumalaga.

Liiva ruumala on väiksem kui uue kasti ruumala, seega liiv mahub uude kasti.