Põhikooli lõpueksam 2015, ülesanne 7: Püramiidikujuline küünal ja karp

Esimeses küsimuses tuleb leida karbi kõrgus. Karp on küünlast $1$ cm võrra kõrgem, seega on vaja teada küünla ehk püramiidi kõrgust $H$. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi on ruut ja kõrgus $SO$ langeb ruudu keskpunkti $O$, kus diagonaalid lõikuvad ja poolituvad.

Punkt $O$ jaotab diagonaali $BD$ kaheks võrdseks osaks.

Kolmnurk $SOB$ on täisnurkne, täisnurk on tipus $O$. Kaatetid on kõrgus $SO = H$ ja pool diagonaali $OB = 5$ cm, hüpotenuus on külgserv $SB = 13$ cm.

Kirjutame Pythagorase teoreemi kolmnurgas $SOB$: kaatetite ruutude summa on hüpotenuusi ruut.

Asendame $OB = 5$ cm ja $SB = 13$ cm.

Arvutame ruudud.

Viime arvu $25$ paremale poole, kus selle märk muutub.

Võtame ruutjuure. Pikkus on positiivne, seega arvestame ainult positiivset juurt.

Karp on küünlast $1$ cm võrra kõrgem, seega liidame küünla kõrgusele $1$ cm.

Teises küsimuses tuleb leida küünla ja karbi ruumala. Püramiidi ruumala jaoks on vaja põhja pindala. Põhi on ruut küljega $a$, mille diagonaal on $10$ cm. Diagonaal jaotab ruudu kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille kaatetid on ruudu küljed $a$ ja hüpotenuus on diagonaal.

Kirjutame Pythagorase teoreemi: kaatetid on $a$ ja $a$, hüpotenuus $10$ cm.

Liidame vasakul sarnased liikmed ja arvutame paremal ruudu. Et $a^2$ jääks üksi, jagame siis võrrandi mõlemat poolt arvuga $2$.

Jagamise järel saame $a^2$ väärtuse.

Ruudu pindala on külje ruut, seega põhja pindala on $a^2$.

Kirjutame püramiidi ruumala valemi: kolmandik põhja pindala ja kõrguse korrutisest.

Asendame põhja pindala $S_p = 50 \text{ cm}^2$ ja kõrguse $H = 12$ cm. Kõigepealt korrutame $\frac{1}{3} \cdot 12 = 4$.

Karp on risttahukas ehk püstprisma. Selle põhi on ruut küljega $8$ cm ja kõrgus on esimeses küsimuses leitud $13$ cm.

Kirjutame prisma ruumala valemi: põhja pindala korda kõrgus.

Karbi põhi on ruut küljega $8$ cm, selle pindala on külje ruut.

Korrutame põhja pindala karbi kõrgusega $13$ cm.

Kolmandas küsimuses tuleb otsustada, kas silindrikujuline küünal mahub karpi. Silinder on sama kõrge kui püramiid, seega $h = 12$ cm, ja selle ruumala on $750 \text{ cm}^3$. Et teada, kas silinder mahub karpi, on vaja teada selle põhja läbimõõtu. Leiame kõigepealt ruumala valemist raadiuse.

Kirjutame silindri ruumala valemi.

Asendame ruumala $V = 750 \text{ cm}^3$ ja kõrguse $h = 12$ cm.

Kirjutame arvulised tegurid kokku: $\pi \cdot 12 = 12\pi$. Et $r^2$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $12\pi$.

Jagamise järel jääb paremale $r^2$. Vahetame võrrandi pooled.

Arvutame taskuarvutiga: $12\pi \approx 37{,}70$.

Raadius on positiivne, seega võtame positiivse ruutjuure.

Silindri põhja läbimõõt on kaks raadiust.

Kõrguse poolest mahuks silinder karpi: silinder on $12$ cm ja karp $13$ cm kõrge.

Silindri põhi on aga laiem kui karbi põhiserv, seega silindrikujuline küünal karpi ei mahu.