Lai riigieksam 2023, ülesanne 9: Sportlase stipendiumid
Kolm ettevõtet A, B ja C otsustasid rahaliselt toetada üht noort sportlast. Temaga sõlmiti leping, mille kohaselt eraldavad need ettevõtted sportlasele kolme aasta jooksul stipendiume. Ettevõtete A, B ja C stipendiumite suurused on erinevad ja ei muutu kolme aasta jooksul. Tabelisse on märgitud ettevõtete stipendiumite arv aastate kaupa.
Stipendiumite arv aastas
Ettevõte
1. aasta
2. aasta
3. aasta
A
2
2
1
B
1
2
2
C
1
1
2
Vastavalt lepingule saab sportlane esimesel aastal stipendiume koguväärtuses 1500 eurot. Igal järgneval aastal kasvab stipendiumite koguväärtus eelneva aastaga võrreldes 20% võrra.
1.Kui suure rahasummaga toetavad need ettevõtted noort sportlast kolme aasta jooksul kokku?
2.Arvutage iga ettevõtte ühe stipendiumi suurus. Kirjaliku kontrolli tegemine ei ole kohustuslik.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2023, ülesanne 9
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 67% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
20% võrra suurem summa on 1,2 korda eelmise aasta summa. Tähista iga ettevõtte ühe stipendiumi suurus eraldi tähega ja koosta tabeli veergude järgi kolm võrrandit.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta teise ja kolmanda aasta summa
Esimeses küsimuses tuleb leida kolme aasta kogusumma. Kui summa kasvab 20% võrra, on uus summa 100%+20%=120% ehk 1,2 korda eelmise aasta summa.
Teise aasta summa saame esimese aasta summast.
1500⋅1,2=1800 €
Kolmanda aasta summa saame teise aasta summast.
1800⋅1,2=2160 €
Kasv arvutatakse alati eelmise aasta summast, mitte esimese aasta summast. Seepärast on kolmanda aasta kasv 360 eurot, mitte 300 eurot.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Liida kolme aasta summad
Liidame kolme aasta stipendiumite koguväärtused.
1500+1800+2160=5460 €
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Koosta võrrandisüsteem
Teises küsimuses tuleb leida iga ettevõtte ühe stipendiumi suurus. Tähistame ettevõtete A, B ja C ühe stipendiumi suuruse eurodes tähtedega a, b ja c. Tabeli iga veerg annab ühe aasta summa.
Esimesel aastal on 2 stipendiumi A-lt, 1 B-lt ja 1 C-lt; teisel 2, 2 ja 1; kolmandal 1, 2 ja 2.
⎩⎨⎧2a+b+c=15002a+2b+c=1800a+2b+2c=2160
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia b
Lahutame teisest võrrandist esimese. Liikmed 2a ja c kaovad.
(2a+2b+c)−(2a+b+c)=1800−1500
Lihtsustame mõlemat poolt.
b=300
Esimese ja teise aasta erinevus on ainult ettevõtte B ühes lisastipendiumis, seega on b võrdne aastate summade vahega.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia a ja c
Asendame b=300 esimesse ja kolmandasse võrrandisse.
Esimesest võrrandist saame
2a+300+c=1500⇒2a+c=1200
Kolmandast võrrandist saame
a+600+2c=2160⇒a+2c=1560
Avaldame esimesest võrrandist c=1200−2a ja asendame teise.
a+2(1200−2a)=1560
Avame sulud ja koondame.
a+2400−4a=1560⇒−3a=−840
Jagame mõlemaid pooli arvuga −3.
a=280
Leiame c.
c=1200−2⋅280=1200−560=640
Kontroll: 2⋅280+300+640=1500, 2⋅280+2⋅300+640=1800 ja 280+2⋅300+2⋅640=2160. Kõik kolm stipendiumi on erinevad, nagu ülesandes öeldud.
VASTUS
1) Kolme aasta jooksul toetavad ettevõtted sportlast kokku 5460 euroga. 2) Ettevõtte A üks stipendium on 280 eurot, ettevõtte B oma 300 eurot ja ettevõtte C oma 640 eurot.