Lai riigieksam 2022, ülesanne 8: Ringjoon, diameeter ja kaare pikkus
Ringjoon keskpunktiga O(5;3) läbib vektori OA=(−3;4) lõpp-punkti A.
1.Leidke ringjoone diameetri AB otspunkti B koordinaadid.
2.Koostage selle ringjoone võrrand.
3.Arvutage ringjoone selle kaare pikkus, mis asub x-teljest allpool.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2022, ülesanne 8
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 43,1% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: ringjoone võrrand
(x−a)2+(y−b)2=r2
(a;b) on keskpunkt,r raadius
Valemikaart: ringjoone kaar ja ringi sektor
l=rα,S=2r2α(α radiaanides)
l=180∘πrα,S=360∘πr2α(α kraadides)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Vektori OA abil leiad punkti A. Keskpunkt O on diameetri keskpunkt, seega OB on vektori OA vastandvektor. Kaare jaoks leia ringjoone ja x-telje lõikepunktid ning kesknurk.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkti A koordinaadid
Esimeses küsimuses tuleb leida diameetri teine otspunkt B. Kõigepealt leiame punkti A.
Vektori koordinaadid on lõpp-punkti ja alguspunkti koordinaatide vahed. Tähistame A(xA;yA).
OA=(xA−5;yA−3)=(−3;4)
Võrdsustame koordinaadid ükshaaval.
xA−5=−3⇒xA=2,yA−3=4⇒yA=7
Kirjutame punkti koordinaadid.
A(2;7)
110xyO(5;3)A(2;7)
Lühidalt: punkti A koordinaadid saame, kui liidame keskpunkti koordinaatidele vektori koordinaadid: A(5+(−3);3+4)=A(2;7).
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia punkti B koordinaadid
Keskpunkt O on diameetri AB keskpunkt. Seega on vektor OB vektori OA vastandvektor.
Vastandvektori koordinaadid on vastasmärgiga.
OB=−OA=(3;−4)
Liidame keskpunkti koordinaatidele vektori OB koordinaadid.
B(5+3;3+(−4))=B(8;−1)
110xyO(5;3)A(2;7)B(8;−1)
Kontroll lõigu keskpunkti valemiga: (22+8;27+(−1))=(5;3), mis on tõesti punkt O.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia raadius
Teises küsimuses tuleb koostada ringjoone võrrand. Selleks on vaja keskpunkti ja raadiust. Raadius on vektori OA pikkus.
Kasutame vektori pikkuse valemit.
r=∣OA∣=(−3)2+42=9+16=25=5
Punkt A asub ringjoonel, seega on lõik OA raadius.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta ringjoone võrrand
Kirjutame ringjoone võrrandi üldkuju.
(x−a)2+(y−b)2=r2
Asendame keskpunkti koordinaadid a=5, b=3 ja raadiuse r=5.
(x−5)2+(y−3)2=25
110xyO(5;3)A(2;7)B(8;−1)r=5
Kontroll: punkt A(2;7) rahuldab võrrandit, sest (2−5)2+(7−3)2=9+16=25.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia ringjoone ja x-telje lõikepunktid
Kolmandas küsimuses tuleb leida x-teljest allpool oleva kaare pikkus. Kaare otspunktid on ringjoone ja x-telje lõikepunktid.
Asendame ringjoone võrrandisse y=0.
(x−5)2+(0−3)2=25
Viime arvu 9 paremale poole.
(x−5)2=16
Võtame ruutjuure. Arvestame, et ruutjuur võib olla nii positiivne kui ka negatiivne.
x−5=±4
Leiame mõlemad lahendid.
x1=5−4=1,x2=5+4=9
Kirjutame lõikepunktid.
C(1;0),D(9;0)
110xyO(5;3)A(2;7)B(8;−1)r=5C(1;0)D(9;0)
x-teljel on iga punkti teine koordinaat null. Kuna keskpunkt asub x-teljest kõrgemal (y=3) ja raadius on suurem kui 3, lõikab ringjoon x-telge kahes punktis.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Leia kesknurk
Kaare pikkuse jaoks on vaja kesknurka COD. Leiame selle vektorite OC ja OD vahelise nurgana.
Leiame vektorite koordinaadid.
OC=(1−5;0−3)=(−4;−3),OD=(9−5;0−3)=(4;−3)
Kirjutame vektorite vahelise nurga koosinuse skalaarkorrutise kaudu. Mõlema vektori pikkus on raadius 5.
cos∠COD=∣OC∣⋅∣OD∣OC⋅OD=5⋅5(−4)⋅4+(−3)⋅(−3)
Arvutame.
5⋅5(−4)⋅4+(−3)⋅(−3)=25−16+9=−257=−0,28
Leiame nurga taskuarvutiga.
∠COD≈106,3∘
110xyO(5;3)A(2;7)B(8;−1)r=5C(1;0)D(9;0)106,3∘
Koosinus on negatiivne, seega on nurk nüri. Sama nurga saab leida ka täisnurksest kolmnurgast, mille moodustavad keskpunkt, punkt (5;0) ja punkt D: lähiskaatet on 3, hüpotenuus 5, seega cos2∠COD=53, 2∠COD≈53,13∘ ja ∠COD≈106,3∘.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 3Samm 7: Arvuta kaare pikkus
Keskpunkt asub x-teljest kõrgemal, seega x-teljest allpool on lühem kaar CD, mille kesknurk on 106,3∘.
Kirjutame kaare pikkuse valemi, kui nurk on kraadides.
l=180∘πrα
Asendame r=5 ja α=106,3∘.
l=180∘π⋅5⋅106,3∘≈9,3
110xyO(5;3)A(2;7)B(8;−1)r=5C(1;0)D(9;0)106,3∘
Kaare pikkus on ringjoone pikkusest selline osa, nagu kesknurk on täisnurgast: 360∘106,3∘⋅2π⋅5. Täpse nurgaga arvutades on kaare pikkus 9,273…, ümardatult samuti 9,3.
VASTUS
1) Diameetri otspunkt on B(8;−1). 2) Ringjoone võrrand on (x−5)2+(y−3)2=25. 3) x-teljest allpool oleva kaare pikkus on ligikaudu 9,3 ühikut.