Lai riigieksam 2021, ülesanne 9: Ringjoon, diameeter ja puutuja
Ringjoon (x−4)2+(y−3)2=25 läbib punkti O(0;0) ning lõikab lisaks veel x-telge punktis A ja y-telge punktis B.
1.Arvutage punktide A ja B koordinaadid.
2.Põhjendage, et lõik AB on selle ringjoone diameeter.
3.Koostage ringjoonele punktis B joonestatud puutuja võrrand.
4.Joonestage koordinaattasandile ringjoon ja selle puutuja punktis B.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 9
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: ringjoone võrrand
(x−a)2+(y−b)2=r2
(a;b) on keskpunkt,r raadius
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Punktis A on y=0 ja punktis B on x=0. Diameeter läbib ringjoone keskpunkti. Puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkt A
Esimeses küsimuses tuleb leida punktid A ja B. Punkt A asub x-teljel, seega on selle y-koordinaat null.
Asendame ringjoone võrrandisse y=0.
(x−4)2+(0−3)2=25
Arvutame (−3)2=9 ja viime selle paremale poole.
(x−4)2=16
Võtame ruutjuure. Arv võib olla nii 4 kui ka −4.
x−4=±4⇒x1=0,x2=8
Lahend x=0 on punkt O, seega teine lõikepunkt on A.
A(8;0)
110xyK(4;3)OA(8;0)
Ringjoone võrrandist näeme, et keskpunkt on K(4;3) ja raadius r=25=5. x-teljel asuvad punktid, mille y=0.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia punkt B
Punkt B asub y-teljel, seega on selle x-koordinaat null.
Asendame ringjoone võrrandisse x=0.
(0−4)2+(y−3)2=25
Arvutame (−4)2=16 ja viime selle paremale poole.
(y−3)2=9
Võtame ruutjuure.
y−3=±3⇒y1=0,y2=6
Lahend y=0 on jälle punkt O, seega teine lõikepunkt on B.
B(0;6)
110xyK(4;3)OA(8;0)B(0;6)
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Põhjenda, et AB on diameeter
Teises küsimuses tuleb põhjendada, et AB on diameeter. Diameeter on kõõl, mis läbib ringjoone keskpunkti K(4;3). Kontrollime, kas lõigu AB keskpunkt on K.
Kirjutame lõigu keskpunkti valemi.
M(2x1+x2;2y1+y2)
Asendame punktide A(8;0) ja B(0;6) koordinaadid.
M(28+0;20+6)=M(4;3)
Lõigu AB keskpunkt on ringjoone keskpunkt K.
M=K(4;3)
Kontrollime ka lõigu AB pikkust kahe punkti kauguse valemiga.
∣AB∣=(0−8)2+(6−0)2=64+36=100=10=2r
110xyK(4;3)OA(8;0)B(0;6)10
Lõigu AB otspunktid on ringjoonel ja lõik läbib keskpunkti, seega on see diameeter; ka selle pikkus on kaks raadiust. Teine põhjendus: nurk AOB on täisnurk (teljed on risti) ja ringjoonde joonestatud täisnurga vastas olev kõõl on diameeter (Thalese teoreem).
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Koosta puutuja võrrand
Kolmandas küsimuses on vaja puutujat punktis B. Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega KB.
Leiame raadiuse KB tõusu punktide K(4;3) ja B(0;6) kaudu.
kKB=x2−x1y2−y1=0−46−3=−43
Ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1.
k⋅(−43)=−1⇒k=34
Kirjutame sirge võrrandi, mis läbib punkti B(0;6) ja mille tõus on 34.
y−6=34(x−0)
Viime arvu 6 paremale poole.
y=34x+6
110xyK(4;3)OA(8;0)B(0;6)10y=34x+6
Puutuja võrrandis on vabaliige 6, sest puutepunkt B asub y-teljel: see on sirge ja y-telje lõikepunkt.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 4Samm 5: Joonesta ringjoon ja puutuja
Neljandas küsimuses tuleb joonestada. Ringjoone keskpunkt on K(4;3) ja raadius 5, see läbib punkte O, A ja B. Puutuja joonestamiseks teeme väärtuste tabeli.
Ringjoone keskpunkt ja raadius tulevad võrrandist.
K(4;3),r=25=5
Arvutame puutuja y=34x+6 väärtused. Valime x väärtused, mis jaguvad kolmega.
xy−3206310
110xyK(4;3)OA(8;0)B(0;6)10y=34x+6
Kolmega jaguvate x väärtuste korral on y täisarv, näiteks 34⋅(−3)+6=−4+6=2. Ringjoone joonestame sirkliga: teravik punkti K ja ava 5 ühikut.
VASTUS
1) Punktide koordinaadid on A(8;0) ja B(0;6). 2) Lõigu AB keskpunkt (4;3) on ringjoone keskpunkt (ja ∣AB∣=10=2r), seega on AB diameeter. 3) Puutuja võrrand on y=34x+6. 4) Ringjoon ja puutuja on joonisel.