Lai riigieksam 2021, ülesanne 8: Arvutimängu allalaadimised
1. aprillil esitleti uut arvutimängu ja juba esimesel päeval laaditi mängu arvukalt alla.Alates 2. aprillist kasvas mängu allalaadimiste arv eelmise päevaga võrreldes ühe ja sama arvu võrra. On teada, et 10. aprillil oli allalaadimisi 2 korda rohkem kui 4. aprillil ja esimese 15 päevaga oli uue mängu allalaadimiskordi kokku 1800.
1.Mitmel korral laaditi mäng alla esitluspäeval?
2.Analüüs näitas, et esimese kahe kuu jooksul oli kolm järjestikust päeva, mille jooksul laaditi mängu alla kokku 1800 korda. Mis kuupäevadel see nii oli?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 8
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Iga päeva allalaadimiste arvud moodustavad aritmeetilise jada, mille esimene liige on 1. aprilli allalaadimiste arv. Kirjuta mõlemad tingimused võrrandina liikmete a1 ja d kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tähista andmed jadana
Esimeses küsimuses tuleb leida allalaadimiste arv 1. aprillil. Kuna iga päev lisandub sama palju allalaadimisi, moodustavad päevade allalaadimiste arvud aritmeetilise jada. Olgu an allalaadimiste arv aprilli n-ndal päeval ja d jada vahe.
Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Otsime esimest liiget, see on 1. aprilli allalaadimiste arv.
a1=?
Jada liikme number on sama mis aprilli kuupäev: 4. aprillil on a4 ja 10. aprillil a10.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Kasuta tingimust a₁₀ = 2a₄
10. aprillil oli allalaadimisi kaks korda rohkem kui 4. aprillil.
a10=2a4
Kirjutame mõlemad liikmed üldliikme valemi järgi.
a1+9d=2(a1+3d)
Avame sulud.
a1+9d=2a1+6d
Viime a1 paremale ja 6d vasakule poole.
a1=3d
a10=a1+(10−1)d=a1+9d ja a4=a1+(4−1)d=a1+3d.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Kasuta summat ja leia a₁
Kirjutame esimese n liikme summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Esimese 15 päeva summa on 1800 ja a15=a1+14d.
2(a1+a1+14d)⋅15=1800
Lihtsustame lugeja ja taandame kahega.
15(a1+7d)=1800
Jagame mõlemaid pooli arvuga 15.
a1+7d=120
Asendame a1=3d.
3d+7d=120⇒10d=120⇒d=12
Arvutame esimese liikme.
a1=3⋅12=36
Kontroll: a4=36+3⋅12=72 ja a10=36+9⋅12=144=2⋅72; a15=36+14⋅12=204 ja S15=2(36+204)⋅15=1800.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta võrrand kolme päeva summa jaoks
Teises küsimuses otsime kolme järjestikust päeva n, n+1 ja n+2, mille allalaadimiste summa on 1800. Päevi loeme 1. aprillist alates, nii et päeva number on jada liikme number.
Kirjutame üldliikme, kui a1=36 ja d=12.
an=36+12(n−1)=12n+24
Kirjutame kolme järjestikuse liikme summa.
an+an+1+an+2=1800
Asendame üldliikme avaldised.
(12n+24)+(12n+36)+(12n+48)=1800
Koondame sarnased liikmed.
36n+108=1800
Viime 108 paremale poole ja jagame arvuga 36.
36n=1692⇒n=47
an+1=12(n+1)+24=12n+36 ja an+2=12(n+2)+24=12n+48. Kiirem tee: kolme järjestikuse liikme summa on kolm korda keskmine liige, seega an+1=600, siit 12(n+1)+24=600 ja n+1=48.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia kuupäevad
Otsitud päevad on 47., 48. ja 49. päev alates 1. aprillist. Aprillis on 30 päeva.
Kontrollime, et nende päevade summa on tõesti 1800.
a47+a48+a49=588+600+612=1800
Lahutame aprilli 30 päeva, et saada kuupäev mais.
47−30=17,48−30=18,49−30=19
Kirjutame kuupäevad.
17.,18. ja 19. mai
Päev number 31 on 1. mai, seega päev number n on mais kuupäev n−30. Kõik kolm päeva jäävad esimese kahe kuu (aprill ja mai, kokku 61 päeva) sisse.
VASTUS
1) Esitluspäeval laaditi mäng alla 36 korda. 2) Kolm järjestikust päeva, mil laaditi mängu alla kokku 1800 korda, olid 17., 18. ja 19. mai.