Lai riigieksam 2021, ülesanne 10: Tartu maratoni kiirused
1.47. Tartu maratoni raja pikkus oli 63 km. Tarvol kulus selle distantsi läbimiseks 3 tundi 56 minutit ja 15 sekundit. Arvutage Tarvo keskmine kiirus.
2.Robin läbis 63 km pikkusel distantsil keskmiselt 6 km tunnis rohkem kui Ott ning jõudis finišisse 1 tund ja 21 minutit varem. Leidke Oti ja Robini keskmised liikumiskiirused.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 10
Valemikaart: liikumine
s=v⋅t
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Teisenda aeg tundideks. Teises osas tähista Oti kiirus tähega v ja kirjuta mõlema aeg valemiga t=vs; aegade vahe on teada.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Teisenda aeg tundideks
Esimeses küsimuses tuleb leida Tarvo keskmine kiirus. Kiirus kilomeetrites tunnis saadakse, kui teepikkus jagatakse ajaga tundides, seega teisendame aja tundideks. Tunnis on 60 minutit ja 3600 sekundit.
Kirjutame minutid ja sekundid tunni osadena.
t=3+6056+360015
Arvutame murrud kümnendmurruna.
t=3+0,9333…+0,00416=3,9375 h
Täpsemalt: 56 min 15 s=56,25 min ja 6056,25=0,9375 h. Nii on aeg täpselt 3,9375 h ehk 1663 h, ümardamist pole vaja.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta keskmine kiirus
Avaldame liikumise valemist kiiruse.
s=v⋅t⇒v=ts
Asendame s=63 km ja t=3,9375 h.
v=3,937563=16 km/h
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Tähista kiirused ja kirjuta ajad
Teises küsimuses tuleb leida Oti ja Robini kiirused. Tähistame Oti keskmise kiiruse v km/h. Robin oli 6 km/h kiirem, seega tema kiirus on v+6 km/h. Mõlemad läbisid 63 km.
Oti aeg on teepikkus jagatud tema kiirusega.
tOtt=v63
Robini aeg on teepikkus jagatud tema kiirusega.
tRobin=v+663
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta võrrand
Robin jõudis kohale 1 tund ja 21 minutit varem, seega on Oti aeg nii palju pikem.
Teisendame aegade vahe tundideks.
1 h 21 min=1+6021=1,35 h
Oti ja Robini aegade vahe on 1,35 tundi.
v63−v+663=1,35
Aeglasem (Ott) on kauem teel, seega lahutame suuremast ajast väiksema.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Lahenda murdvõrrand
Korrutame võrrandi mõlemaid pooli ühise nimetajaga v(v+6). Kiirus on positiivne, seega nimetaja ei ole null.
63(v+6)−63v=1,35v(v+6)
Avame sulud ja koondame vasakul pool.
378=1,35v2+8,1v
Jagame mõlemaid pooli arvuga 1,35 ja viime kõik liikmed paremale poole.
v2+6v−280=0
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi, kus a=1, b=6 ja c=−280.
v1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad.
v1;2=2−6±36+1120=2−6±1156=2−6±34
Arvutame lahendid. Kiirus ei saa olla negatiivne.
v1=2−6+34=14,v2=2−6−34=−20<0
63⋅6=378, 1,35378=280 ja 1,358,1=6. Diskriminant 1156=342, seega ruutjuur tuleb täpne.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia kiirused ja kontrolli
Oti kiirus on võrrandi positiivne lahend.
vOtt=14 km/h
Robini kiirus on 6 km/h suurem.
vRobin=14+6=20 km/h
Kontrollime aegade vahet.
1463−2063=4,5−3,15=1,35 h
1,35 h on 1 tund ja 0,35⋅60=21 minutit, nagu ülesandes.
VASTUS
1) Tarvo keskmine kiirus oli 16 km/h. 2) Oti keskmine kiirus oli 14 km/h ja Robini keskmine kiirus 20 km/h.