Lai riigieksam 2021, ülesanne 11: Kolmnurga külg ja pindala
1.Kolmnurga ABC küljed AB ja AC on vastavalt 25 cm ja 107 cm ning nende külgede vahelise nürinurga siinus on 43.Leidke külje BC täpne pikkus.
2.Kolmnurgas KLM on küljed KL ja KM vastavalt 32 cm ja 6 cm.Nende külgede vahelise teravnurga siinus rahuldab seost 12cos2α+5sinα−10=0.Arvutage kolmnurga KLM täpne pindala.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 11
Kolmnurk ABC
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
25 cm107 cmABC
Kolmnurk KLM
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
32 cm6 cmαKLM
Valemikaart: trigonomeetria põhiseosed
sin2α+cos2α=1
tanα=cosαsinα
sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Nürinurga koosinus on negatiivne. Teises osas asenda cos2α=1−sin2α, siis saad ruutvõrrandi siinuse suhtes.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia nürinurga koosinus
Esimeses küsimuses tuleb leida külg BC. Teada on kaks külge ja nendevaheline nurk A, seega sobib koosinusteoreem. Selleks on vaja nurga koosinust.
Kirjutame trigonomeetria põhiseose.
sin2A+cos2A=1
Avaldame koosinuse. Nurk A on nürinurk, seega on koosinus negatiivne.
cosA=−1−(43)2=−1−169=−167=−47
25 cm107 cmABC
Nürinurk on 90∘ ja 180∘ vahel, kus koosinus on negatiivne ja siinus positiivne. Kui võtta koosinus positiivsena, saadakse teravnurkne kolmnurk ja vale vastus.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Kasuta koosinusteoreemi
Kirjutame koosinusteoreemi külje BC jaoks.
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cosA
Asendame AB=25, AC=107 ja cosA=−47.
BC2=252+(107)2−2⋅25⋅107⋅(−47)
Arvutame liikmed: (107)2=700 ja 5007⋅47=4500⋅7=875.
BC2=625+700+875=2200
Võtame ruutjuure ja toome täisruudu 100 juure alt välja.
BC=2200=100⋅22=1022 cm
25 cm107 cm1022 cmABC
Kuna koosinus on negatiivne, muutub koosinusteoreemi viimane liige plussiks: nürinurga vastas olev külg on pikem kui teravnurga korral. 1022≈46,9 cm, aga küsiti täpset pikkust.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Teisenda seos siinuse võrrandiks
Teises küsimuses tuleb leida pindala. Selleks on vaja nurga α siinust, mille saame antud seosest. Seoses on nii koosinus kui ka siinus, seega asendame põhiseosest cos2α=1−sin2α.
Asendame koosinuse ruudu.
12(1−sin2α)+5sinα−10=0
Avame sulud ja koondame vabaliikmed.
−12sin2α+5sinα+2=0
Korrutame võrrandi mõlemaid pooli arvuga −1.
12sin2α−5sinα−2=0
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Lahenda ruutvõrrand siinuse suhtes
Tähistame t=sinα. Siis on võrrand 12t2−5t−2=0, kus a=12, b=−5 ja c=−2.
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
t1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad.
t1;2=245±25+96=245±121=245±11
Arvutame lahendid.
t1=2416=32,t2=24−6=−41
Teravnurga siinus on positiivne, seega sobib ainult esimene lahend.
sinα=32
32 cm6 cmαsinα=32KLM
Teravnurk on 0∘ ja 90∘ vahel, kus siinus on positiivne. Negatiivne siinus −41 ei sobi ühegi kolmnurga nurgale.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta kolmnurga pindala
Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.
S=21⋅KL⋅KM⋅sinα
Asendame KL=32, KM=6 ja sinα=32.
S=21⋅32⋅6⋅32=92⋅32=62 cm2
32 cm6 cmαsinα=32S=62KLM
21⋅32⋅6=92 ja 92⋅32=62≈8,49 cm². Küsiti täpset pindala, seega jätame juure alles.
VASTUS
1) Külje BC täpne pikkus on 1022 cm. 2) Kolmnurga KLM täpne pindala on 62 cm².