Kitsas riigieksam 2026, ülesanne 9: Algfunktsioon ja maatüki jagamine

1.Kontrollige, kas funktsioon $F(x) = 5x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3$ on funktsiooni $f(x) = 5 + x + \frac{1}{2}x^2$ algfunktsioon.
2.Ristkülikukujulist maatükki mõõtmetega 60 m ja 50 m läbib oja, mida kirjeldab funktsiooni $y = 10 + \frac{1}{100}x^2$ graafik (vt joonist). Maatükile on seatud kasutuskord: osa $A$ kasutab omanik Ants ja osa $B$ kasutab omanik Bruno. Leidke, kumma omaniku kasutatava osa pindala on suurem ja mitme protsendi võrra.

Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2026, ülesanne 9

Ülesande joonis

c' = 0, \quad x' = 1, \quad (x^n)' = nx^{n-1}

\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

(e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln a

(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

(u + v)' = u' + v', \quad (u - v)' = u' - v', \quad (c \cdot u)' = c \cdot u'

(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

u,\ v \text{ on funktsioonid},\ c \text{ on konstant}

\int dx = x + C, \quad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ n \ne -1

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

\int e^x\,dx = e^x + C, \quad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C

\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C

C \text{ on konstant}

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

F \text{ on } f \text{ algfunktsioon: } F'(x) = f(x)

S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx, \quad \text{kui } f(x) \ge g(x) \text{ lõigul } [a;\,b]

p\% \text{ arvust } a = \frac{p}{100} \cdot a

\frac{a}{b} \cdot 100\% \quad (\text{mitu protsenti on } a \text{ arvust } b)

Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.