Kitsas riigieksam 2023, ülesanne 11: Vesi klaasis ja kannus
Silindrikujulise klaasi põhja läbimõõt on 7 cm ning kõrgus 13,5 cm. Klaas on veega täidetud nii, et veetase on klaasi ülemisest äärest 1 cm võrra allpool.Vee kogus klaasis moodustab 52 kannus oleva vee kogusest. Arvutage, mitu liitrit vett on kannus ja kui kõrgele ulatub selles veetase, kui kann on korrapärase nelinurkse prisma kujuline ja selle põhiservad on 11 cm. Kannu ja klaasi materjali paksus jätke arvestamata.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2023, ülesanne 11
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 34,8% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: silinder
V=πr2h
Sk=2πrh,St=2πr(r+h)
Valemikaart: püstprisma
V=Sp⋅h
St=2Sp+Sk
Sk=P⋅h,P on po˜hja u¨mbermo˜o˜t
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Arvuta kõigepealt vee ruumala klaasis; vesi on silinder, mille kõrgus on 1 cm väiksem kui klaasi kõrgus. Kannus on vett 25 korda rohkem. Kannu vesi on prisma, mille põhja pindala on 112.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia klaasi raadius ja vee kõrgus
Klaasis olev vesi on silinder. Selle ruumala arvutamiseks on vaja põhja raadiust ja vee kõrgust.
Raadius on pool läbimõõdust.
r=7:2=3,5 cm
Veetase on klaasi ülemisest äärest 1 cm allpool.
h=13,5−1=12,5 cm
7 cm13,5 cmh=12,5 cm
Lohista, et pöörata
Klaasi kõrgus 13,5 cm on kogu klaasi kõrgus, aga vesi ei ulatu ääreni. Vee ruumala arvutamiseks on vaja vee kõrgust.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Arvuta vee ruumala klaasis
Kirjutame silindri ruumala valemi.
Vklaas=πr2h
Asendame r=3,5 cm ja h=12,5 cm.
Vklaas=π⋅3,52⋅12,5=153,125π≈481,06 cm3
13,5 cmh=12,5 cmr=3,5 cmV≈481 cm3
Lohista, et pöörata
3,52=12,25 ja 12,25⋅12,5=153,125, seega Vklaas=153,125π≈481,06 cm³. Vahetulemust ei ümarda veel liiga palju, sest seda kasutame edasi.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Arvuta vee ruumala kannus
Vee kogus klaasis on 52 kannus oleva vee kogusest. Tähistame kannus oleva vee ruumala Vkann.
Kui 52 kannu veest on 481,06 cm³, siis 51 on 481,06:2≈240,53 cm³ ja kogu kannu vesi viis korda rohkem. Arvutame täpse väärtusega 153,125π, et ümardamisviga ei koguneks (ümardatud arvuga 2,5⋅481,06=1202,65, vahe on tühine).
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Teisenda liitriteks
Üks liiter on 1000 cm³, seega jagame arvuga 1000.
1202,64 cm3=1,20264 l≈1,2 l
1 l=1 dm3=10 cm⋅10 cm⋅10 cm=1000 cm3.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Leia veetaseme kõrgus kannus
Kannus olev vesi on korrapärane nelinurkne prisma. Selle põhi on ruut küljega 11 cm ja kõrgus H on veetaseme kõrgus.
Arvutame põhja pindala.
Sp=112=121 cm2
Kirjutame prisma ruumala valemi.
Vkann=Sp⋅H
Avaldame H, jagades mõlemaid pooli põhja pindalaga, ja asendame arvud.
H=SpVkann≈1211202,64≈9,9 cm
11 cm11 cmV≈1203 cm3H≈9,9 cm
Lohista, et pöörata
Täpsemalt H≈9,94 cm, täisarvuni ümardatult 10 cm (nii on hindamisjuhendis). Kontroll: 121⋅9,94≈1203 cm³.
VASTUS
Kannus on ligikaudu 1,2 liitrit vett ja veetase ulatub kannus ligikaudu 9,9 cm ehk umbes 10 cm kõrgusele.