Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Sirge tõusu saad kahe punkti koordinaatide muutude jagatisena. Ristuvate sirgete tõusude korrutis on − 1 -1 − 1 D D D
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Leia sirge AB tõus Esimeses küsimuses tuleb koostada sirge A B AB A B A ( − 1 ; 6 ) A(-1;\,6) A ( − 1 ; 6 ) B ( 5 ; 3 ) B(5;\,3) B ( 5 ; 3 )
Kirjutame tõusu valemi.
k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} k = x 2 − x 1 y 2 − y 1 Asendame punktide A A A B B B
k A B = 3 − 6 5 − ( − 1 ) = − 3 6 = − 0,5 k_{AB} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{3 - 6}{5 - (-1)}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{-3}{6}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{-0{,}5}} k A B = 5 − ( − 1 ) 3 − 6 = 6 − 3 = − 0 , 5 Miks nii? Tõus näitab, kui palju muutub y y y x x x 2 Küsimus 1 Samm 2: Koosta sirge AB võrrand Kirjutame sirge võrrandi punkti A ( − 1 ; 6 ) A(-1;\,6) A ( − 1 ; 6 ) − 0,5 -0{,}5 − 0 , 5
y − 6 = − 0,5 ( x − ( − 1 ) ) y - 6 = -0{,}5(x - (-1)) y − 6 = − 0 , 5 ( x − ( − 1 )) Avame sulud.
y − 6 = − 0,5 x − 0,5 y - 6 = -0{,}5x - 0{,}5 y − 6 = − 0 , 5 x − 0 , 5 Viime arvu − 6 -6 − 6
y = − 0,5 x + 5,5 \hl{y = -0{,}5x + 5{,}5} y = − 0 , 5 x + 5 , 5 Miks nii? Kontroll punktiga B ( 5 ; 3 ) B(5;\,3) B ( 5 ; 3 ) − 0,5 ⋅ 5 + 5,5 = − 2,5 + 5,5 = 3 -0{,}5 \cdot 5 + 5{,}5 = -2{,}5 + 5{,}5 = 3 − 0 , 5 ⋅ 5 + 5 , 5 = − 2 , 5 + 5 , 5 = 3 B B B 3 Küsimus 2 Samm 3: Leia sirge CD tõus Teises küsimuses on sirge C D CD C D A B AB A B − 1 -1 − 1
Kirjutame ristuvuse tingimuse.
k A B ⋅ k C D = − 1 k_{AB} \cdot k_{CD} = -1 k A B ⋅ k C D = − 1 Asendame k A B = − 0,5 k_{AB} = -0{,}5 k A B = − 0 , 5 k C D k_{CD} k C D
k C D = − 1 : ( − 0,5 ) = 2 k_{CD} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-1 : (-0{,}5)} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{2}} k C D = − 1 : ( − 0 , 5 ) = 2 Miks nii? Ristuva sirge tõus on vastandarvu pöördarv: − 0,5 = − 1 2 -0{,}5 = -\frac{1}{2} − 0 , 5 = − 2 1 − 2 -2 − 2 2 2 2 4 Küsimus 2 Samm 4: Koosta sirge CD võrrand Kirjutame sirge võrrandi punkti C ( − 2 ; − 1 ) C(-2;\,-1) C ( − 2 ; − 1 ) 2 2 2
y − ( − 1 ) = 2 ( x − ( − 2 ) ) y - (-1) = 2(x - (-2)) y − ( − 1 ) = 2 ( x − ( − 2 )) Lihtsustame ja avame sulud.
y + 1 = 2 x + 4 y + 1 = 2x + 4 y + 1 = 2 x + 4 Viime arvu 1 1 1
y = 2 x + 3 \hl{y = 2x + 3} y = 2 x + 3 Miks nii? Kontroll punktiga C ( − 2 ; − 1 ) C(-2;\,-1) C ( − 2 ; − 1 ) 2 ⋅ ( − 2 ) + 3 = − 4 + 3 = − 1 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1 2 ⋅ ( − 2 ) + 3 = − 4 + 3 = − 1 C C C 5 Küsimus 3 Samm 5: Leia lõikepunkt D Kolmandas küsimuses on punkt D D D
Kirjutame võrrandisüsteemi.
{ y = − 0,5 x + 5,5 y = 2 x + 3 \begin{cases} y = -0{,}5x + 5{,}5 \\ y = 2x + 3 \end{cases} { y = − 0 , 5 x + 5 , 5 y = 2 x + 3 Võrdsustame paremad pooled.
2 x + 3 = − 0,5 x + 5,5 2x + 3 = -0{,}5x + 5{,}5 2 x + 3 = − 0 , 5 x + 5 , 5 x x x
2,5 x = 2,5 2{,}5x = 2{,}5 2 , 5 x = 2 , 5 Jagame mõlemaid pooli arvuga 2,5 2{,}5 2 , 5
Asendame x = 1 x = 1 x = 1 C D CD C D
y = 2 ⋅ 1 + 3 = 5 y \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{2 \cdot 1 + 3} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{5}} y = 2 ⋅ 1 + 3 = 5 Kirjutame punkti D D D
D ( 1 ; 5 ) \hl{D(1;\,5)} D ( 1 ; 5 ) Miks nii? Kontroll sirgega A B AB A B − 0,5 ⋅ 1 + 5,5 = 5 -0{,}5 \cdot 1 + 5{,}5 = 5 − 0 , 5 ⋅ 1 + 5 , 5 = 5 ( 1 ; 5 ) (1;\,5) ( 1 ; 5 ) 6 Küsimus 3 Samm 6: Arvuta lõigu CD pikkus Kirjutame kahe punkti vahelise kauguse valemi.
d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 Asendame punktide C ( − 2 ; − 1 ) C(-2;\,-1) C ( − 2 ; − 1 ) D ( 1 ; 5 ) D(1;\,5) D ( 1 ; 5 )
∣ C D ∣ = ( 1 − ( − 2 ) ) 2 + ( 5 − ( − 1 ) ) 2 = 3 2 + 6 2 = 9 + 36 = 45 |CD| \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\sqrt{3^2 + 6^2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\sqrt{9 + 36}} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\id{ahel-18}{\sqrt{45}}} ∣ C D ∣ = ( 1 − ( − 2 ) ) 2 + ( 5 − ( − 1 ) ) 2 = 3 2 + 6 2 = 9 + 36 = 45 Lihtsustame juure ja leiame ligikaudse väärtuse.
45 = 3 5 ≈ 6,7 \id{ahel-18}{\sqrt{45}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{3\sqrt{5}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{\approx}} \htmlData{seg=2}{\hl{6{,}7}} 45 = 3 5 ≈ 6 , 7 Miks nii? 45 = 9 ⋅ 5 = 3 5 ≈ 6,708 \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}708 45 = 9 ⋅ 5 = 3 5 ≈ 6 , 708 C D CD C D C C C A B AB A B C D CD C D A B AB A B VASTUS 1) Sirge A B AB A B y = − 0,5 x + 5,5 y = -0{,}5x + 5{,}5 y = − 0 , 5 x + 5 , 5 C D CD C D y = 2 x + 3 y = 2x + 3 y = 2 x + 3 D D D D ( 1 ; 5 ) D(1;\,5) D ( 1 ; 5 ) C D CD C D 45 = 3 5 ≈ 6,7 \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}7 45 = 3 5 ≈ 6 , 7
Ristuva sirge tõusuks võetakse vastandarv 0,5 0{,}5 0 , 5 − 2 -2 − 2 − 1 -1 − 1 k C D = 2 k_{CD} = 2 k C D = 2
k C D = 0,5 k_{CD} = 0{,}5 k C D = 0 , 5 vale ristuvuse tingimus
Kauguse valemis jäetakse arvestamata miinusmärgid: 1 − ( − 2 ) = 1 − 2 = − 1 1 - (-2) = 1 - 2 = -1 1 − ( − 2 ) = 1 − 2 = − 1 1 − ( − 2 ) = 3 1 - (-2) = 3 1 − ( − 2 ) = 3
∣ C D ∣ = ( 1 − 2 ) 2 + ( 5 − 1 ) 2 = 17 |CD| = \sqrt{(1 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{17} ∣ C D ∣ = ( 1 − 2 ) 2 + ( 5 − 1 ) 2 = 17 märgid
Ülesanne 11