Kitsas riigieksam 2022, ülesanne 5: Ratsionaal- ja juuravaldise lihtsustamine

1.Lihtsustage avaldised $A = \esile{a1}{\dfrac{3a^2 - 9ab}{a^2 - 2ab + b^2}} : \esile{a2}{\left(\dfrac{a}{2a + 2b} - \dfrac{ab}{a^2 - b^2}\right)}$ ja $\esile{b}{B = 2\left(\sqrt{x} + 2\right)\left(\sqrt{x} - 2\right)}$ .
2.Arvutage avaldiste $A$ ja $B$ väärtused, kui $a = \log_3 81$ , $b = 1{,}5^{-1}$ ja $x = 7{,}5$ .

Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2022, ülesanne 5

Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 32,8% punktidest (Harno aruanne).

Valemikaart: abivalemid

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

\log_a b = c \iff a^c = b, \quad a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0

\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y

\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

\log_a x^k = k \log_a x

\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \quad a^{\log_a x} = x

a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad a^m : a^n = a^{m-n}

(a^m)^n = a^{mn}, \quad (ab)^n = a^n b^n

a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.