Kitsas riigieksam 2022, ülesanne 3: Parabooli ja sirgetega piiratud kujundi pindala
Joonisel on funktsiooni f(x)=−2x2+x+6 graafik.
1.Lisage joonisele sirged x=1 ja x=−1 ning viirutage kujund, mida piiravad antud sirged, funktsiooni f(x) graafik ja x-telg.
2.Arvutage viirutatud kujundi pindala.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2022, ülesanne 3
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 42,1% punktidest (Harno aruanne).
Ülesande joonis
110xyf(x)=−2x2+x+6
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Valemikaart: põhilised integraalid
∫dx=x+C,∫xndx=n+1xn+1+C,n=−1
∫x1dx=ln∣x∣+C
∫exdx=ex+C,∫axdx=lnaax+C
∫sinxdx=−cosx+C,∫cosxdx=sinx+C
∫cos2x1dx=tanx+C
C on konstant
Valemikaart: määratud integraal ja pindala
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
F on f algfunktsioon: F′(x)=f(x)
S=∫ab(f(x)−g(x))dx,kui f(x)≥g(x) lo˜igul [a;b]
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kujund on kõvertrapets, mis asub x-teljel lõigul [−1;1]. Selle pindala on funktsiooni f(x) määratud integraal sellel lõigul.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Joonesta sirged x = −1 ja x = 1
Esimeses küsimuses tuleb joonisele lisada kaks sirget. Võrrand x=konstant tähendab y-teljega paralleelset ehk püstist sirget.
Sirge x=−1 läbib x-teljel punkti −1. Arvutame, kus see lõikab parabooli.
f(−1)=−2⋅(−1)2+(−1)+6=−2−1+6=3
Sirge x=1 läbib x-teljel punkti 1. Arvutame, kus see lõikab parabooli.
f(1)=−2⋅12+1+6=−2+1+6=5
110xyf(x)=−2x2+x+6x=−1x=1(−1;3)(1;5)
Sirge x=−1 koosneb kõigist punktidest, mille esimene koordinaat on −1, näiteks (−1;0) ja (−1;3). Lõikepunktid parabooliga (−1;3) ja (1;5) näitavad, kui kõrgele kujundi küljed ulatuvad.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Viiruta kujund
Kujundit piiravad vasakult sirge x=−1, paremalt sirge x=1, ülalt parabool ja alt x-telg. Kontrollime parabooli nullkohtadega, et parabool on terve lõigu [−1;1] ulatuses x-teljest kõrgemal.
Võrdsustame funktsiooni nulliga.
−2x2+x+6=0
Korrutame võrrandi mõlemaid pooli arvuga −1.
2x2−x−6=0
Kasutame lahendivalemit, kus a=2, b=−1 ja c=−6.
x1;2=2⋅21±(−1)2−4⋅2⋅(−6)=41±49=41±7
Arvutame mõlemad nullkohad.
x1=41−7=−1,5,x2=41+7=2
110xyf(x)=−2x2+x+6x=−1x=1(−1;3)(1;5)x1=−1,5x2=2
Parabool avaneb alla (a=−2<0), seega on see nullkohtade −1,5 ja 2 vahel x-teljest kõrgemal. Lõik [−1;1] jääb täielikult nende nullkohtade vahele, seega on viirutatud kujund kõvertrapets, mille ülemine serv on parabool.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Kirjuta pindala integraalina
Teises küsimuses tuleb arvutada viirutatud kujundi pindala. Kõvertrapetsi pindala on funktsiooni määratud integraal.
Integreerimisrajad on sirgetest: alumine raja −1 ja ülemine raja 1.
S=∫−11(−2x2+x+6)dx
Määratud integraal annab kõvertrapetsi pindala siis, kui funktsioon on lõigul mittenegatiivne. Seda kontrollisime eelmises sammus.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia algfunktsioon
Integreerime liikmete kaupa.
F(x)=−2⋅3x3+2x2+6x=−32x3+2x2+6x
Kasutame valemit ∫xndx=n+1xn+1+C: ∫x2dx=3x3, ∫xdx=2x2 ja ∫6dx=6x. Määratud integraalis konstant C taandub ära, seega jätame selle kirjutamata.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta pindala
Kirjutame Newtoni-Leibnizi valemi.
S=F(1)−F(−1)
Arvutame algfunktsiooni väärtuse ülemisel rajal.
F(1)=−32⋅13+212+6⋅1=−32+21+6
Viime murrud ühisele nimetajale 6 ja liidame.
−32+21+6=−64+63+636=635
Arvutame algfunktsiooni väärtuse alumisel rajal. Pane tähele, et (−1)3=−1.