Kitsas riigieksam 2018, ülesanne 3: Lineaarvõrratus ja trigonomeetrilise avaldise väärtus
1.Lahendage võrratus x+4≥3,75+43x.
2.Kas arv A=sin24π+cosπ kuulub 1. alaülesandes antud võrratuse lahendite piirkonda? Põhjendage oma vastust.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2018, ülesanne 3
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses osas korruta võrratus läbi nimetajaga 4. Teises osas on vaja teada, et sin4π=22 ja cosπ=−1.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Vabane murrust
Esimeses küsimuses tuleb lahendada võrratus. Ainus nimetaja on 4, seega korrutame võrratuse mõlemaid pooli arvuga 4.
Korrutame iga liiget arvuga 4. Positiivse arvuga korrutades võrratuse märk ei muutu.
4⋅x+4⋅4≥4⋅3,75+4⋅43x
Arvutame korrutised: 4⋅3,75=15 ja murrus taandub 4.
4x+16≥15+3x
Korrutada tuleb kõiki liikmeid mõlemal pool, ka liikmeid x ja 4, millel nimetajat pole.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Lahenda võrratus
x-iga liikmed viime vasakule ja arvud paremale poole.
4x−3x≥15−16
Koondame mõlemal pool.
x≥−1
Kirjutame lahendihulga. Otspunkt kuulub lahendisse, sest võrratus ei ole range.
x∈[−1;∞)
xx≥−1−3−2−1012
Paremale poole viies muutub liikme märk: 16 muutub −16-ks ja 3x vasakul −3x-ks. Siin jagama ei pea, sest x-i kordaja on 1, seega võrratuse märk jääb samaks.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta arvu A väärtus
Teises küsimuses tuleb kõigepealt leida arvu A väärtus. Nurk 4π on 45∘ ja nurk π on 180∘.
Kirjutame siinuse ja koosinuse väärtused.
sin4π=22,cosπ=−1
Asendame need avaldisse. Siinus tuleb võtta ruutu.
A=(22)2+(−1)=42−1=21−1=−21
sin24π tähendab (sin4π)2. Ühikringjoonel on nurga π (180∘) punkt (−1;0), seega cosπ=−1. Ruutjuure ruut annab juuritava: (2)2=2.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Võrdle arvu A lahendihulgaga
Lahendite piirkond on x≥−1. Kontrollime, kas A=−0,5 rahuldab seda tingimust.
Võrdleme arvu A lahendihulga otspunktiga.
−0,5≥−1
Kontrolliks arvutame algse võrratuse vasaku poole, kui x=−0,5.
vp=−0,5+4=3,5
Arvutame võrratuse parema poole.
pp=3,75+43⋅(−0,5)=3,75−0,375=3,375
Võrratus kehtib, seega arv A kuulub lahendite piirkonda.
3,5≥3,375⇒A∈[−1;∞)
xx≥−1−3−2−1012A=−0,5
Arvteljel on −0,5 arvust −1 paremal, seega suurem. Kõik arvud, mis on vähemalt −1, on võrratuse lahendid.
VASTUS
1) Võrratuse lahend on x≥−1 ehk x∈[−1;∞). 2) Arv A=sin24π+cosπ=−21 kuulub lahendite piirkonda, sest −21≥−1.